已知a、b、c、d是四個(gè)不同的有理數(shù),且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,求(a+c)(b+c)的值.

答案:
解析:

  解:由已知得等式

  a2+(c+d)a+cd-1=0,

  b2(c+d)b+cd-1=0,

  ∴a、b是關(guān)于x的方程x2+(c+d)x+cd-1=0的兩個(gè)不同的有理根,

  由根與系數(shù)關(guān)系

  a+b=-(c+d),ab=cd-1,

  所以(a+c)(b+c)=c2+(a+b)c+ab

 �。絚2-(c+d)c+cd-1

 �。絚2-c2-cd+cd-1=-1.

  分析:不易直接求解.注意到所求代數(shù)變形后為字母c的二次三次式,其一次項(xiàng)系數(shù)為a+b,常數(shù)項(xiàng)為ab,只需將a+b、ab用含c、d的代數(shù)式表示出來(lái).又已知兩個(gè)等式可分別表示為字母a、b的一元二次方程,且對(duì)應(yīng)系數(shù)相同,構(gòu)造以a、b為二根的一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系找出a+b、ab與字母c、d的關(guān)系式,再代入所求代數(shù)式進(jìn)行求值.

  點(diǎn)評(píng):構(gòu)造以a、b為二根的一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系找出a+b、ab與字母c、d的關(guān)系式,是解決此題的關(guān)鍵.


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