Question

已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB，CD=BD，BF平分∠DBC，與CD，AC分別交于點E、點F，且DA=DE，H是BC邊的中點，連結DH與BE相交于點G．
（1）求證：△EBD≌△ACD；
（2）求證：點G在∠DCB的平分線上；
（3）試探索CF、GF和BG之間的等量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由全等三角形的判定定理SAS證得結論；
（2）如圖，過點G作GM⊥AB，GN⊥DC．欲證明點G在∠DCB的平分線上，只需證得GH=GN；
（3）BG²=GF²+CF²．連接GC．由（1）中的全等三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2．則易證∠BFC=90°，所以根據(jù)勾股定理得到CG²=GF²+CF²．由“DH是BC的垂直平分線”得到
BG=CG，所以BG²=GF²+CF²．

解答：（1）證明：∵CD⊥AB，
∴∠BDE=∠CDA=90°．
在△EBD與△ACD中，

DE=DA ∠BDE=∠CDA BD=CD

，
∴△CBD≌△ACD（SAS）；

（2）證明：如圖，過點G作GM⊥AB，GN⊥DC．
∵BD=CD，H是BC中點，
∴DH平分∠BDC，DH⊥BC．
∵GM⊥AB，GN⊥DC
∴GM=GN
∵BF平分∠ABC，GM⊥AB，GH⊥BC，
∴GM=GH，
∴GH=GN，
∴點G在∠DCB的平分線上；

（3）解：BG²=GF²+CF²．
理由如下：連接GC．由（1）知，△CBD≌△ACD，則∠1=∠2．
∵∠2+∠A=90°，
∴∠1+∠A=90°，
∴∠BFC=90°
∴CG²=GF²+CF²．
∵DH是BC的垂直平分線
∴BG=CG，
∴BG²=GF²+CF²．

點評：本題綜合考查了全等三角形的判定與性、勾股定理以及角平分線的性質(zhì)．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．