Question

學(xué)習(xí)了勾股定理的逆定理，我們知道：在一個(gè)三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形為直角三角形．類(lèi)似地，我們定義：對(duì)于任意的三角形，設(shè)其三個(gè)角的度數(shù)分別為x°、y°和z°，若滿足x²+y²=z²，則稱這個(gè)三角形為勾股三角形．
（1）根據(jù)“勾股三角形”的定義，請(qǐng)你直接判斷命題：“直角三角形是勾股三角形”是真命題還是假命題？
（2）已知某一勾股三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)從小到大依次為x°、y°和z°，且xy=2160，求x+y的值；
（3）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=

6

，AC=1+

3

，BC=2，⊙O的直徑BE交AC于點(diǎn)D．
①求證：△ABC是勾股三角形；
②求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)“勾股三角形”的定義，判斷得出即可；
（2）利用已知得出等量量關(guān)系組成方程組，進(jìn)而求出x+y的值；
（3）①過(guò)B作BH⊥AC于H，設(shè)AH=x，利用勾股定理首先得出AH=BH=

3

，HC=1，進(jìn)而得出∠A=45°，∠C=60°，∠B=75°，即可得出答案；
②過(guò)D作DK⊥AB于K，設(shè)KD=h，首先得出h+

3

h=

6

，進(jìn)而得出h的值，求出BD，進(jìn)而得出DE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵對(duì)于任意的三角形，設(shè)其三個(gè)角的度數(shù)分別為x°、y°和z°，若滿足x²+y²=z²，則稱這個(gè)三角形為勾股三角形，
∴無(wú)法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命題；

（2）由題意可得：

x+y+z=180 xy=2160 x2+y2=z2

，
解得：x+y=102；

（3）①證明：過(guò)B作BH⊥AC于H，設(shè)AH=x，
Rt△ABH中，BH=

6-x2

，
Rt△CBH中，（

6-x2

）²+（1+

3

-x）²=4，
解得：x=

3

，
 所以，AH=BH=

3

，HC=1，
∴∠A=∠ABH=45°，
∴tan∠HBC=

CH

BH

=

1

3

=

3

3

，
∴∠HBC=30°，
∴∠BCH=60°，∠B=75°，
∴45²+60²=75²
∴△ABC是勾股三角形；

②連接CE，
∵∠A=45°，
∴∠BEC=∠BAC=45°，
又∵BE是直徑，
∴∠BCE=90°，
∴BC=CE=2，
過(guò)D作DK⊥AB于K，設(shè)KD=h，
∵∠EBC=45°，∠ABC=75°，
∴∠ABE=30°，
∴BK=

3

h，AK=h，
∴h+

3

h=

6

，
解得：h=

3 2 - 6

2

，
∴BD=2KD=2h=3

2

-

6

，
∴BE-BD=2

2

-（3

2

-

6

）=

6

-

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了新定義以及多元方程組解法以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系，利用勾股定理得出AH，HC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．