Question

【題目】是等邊三角形，點在射線上，延長至，使.

（1）如圖（1），當點為線段中點時，求證：.

（2）如圖（2），當點在線段的延長線上時，還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，證明見解析.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形“三線合一”的性質可得∠CBD=30°，由CD=AD，CD=CE可得CD=CE，即可得∠CDE=∠CED，利用三角形外角性質可得∠CED=30°，可得∠CBD=∠CED，即可證明DB=DE；

（2）如圖，過點作的平行線交于，根據平行線的性質及等邊三角形的性質可證明△CDF是等邊三角形，可得CD=DF=CF，利用線段的和差關系可得BC=AC=EF，利用平角的定義可得=120°，利用SAS可證明，即可得DB=DE.

（1）∵是等邊三角形

∴

∵點為線段的中點，

∴平分，

∴

∵

∴

∴

∵，

∴，，

∴∠CBD=∠CED，

∴；

（2）成立，理由如下：

如圖，過點作的平行線交于，

∴，，

∵是等邊三角形，

∴，，

∴，

∵，

∴為等邊三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

，

∴，

在和中，，

∴，

∴.