Question

將兩個(gè)完全相同的含有 30°角的直角三角板如圖所示放置，其中∠DAC = 30°，∠ACD=90°，AD = 8，點(diǎn)M為 AC中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，連接EM并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn) F。
(1)四邊形ABCD 的面積為________；
(2)當(dāng) CE =_______時(shí)，四邊形DCEF為等腰梯形，  當(dāng) CE =_______時(shí)，四邊形DCEF為直角梯形；
(3)當(dāng)∠EMC= 90°時(shí)，判斷四邊形DCEF的形狀，并說明理由；
(4)連接BF，在點(diǎn) E的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在△BEF為等腰三角形？如果存在，求出 CE 的長(zhǎng)；如果不存在，說明理由。

Answer 1

解：(1)       (2)2  3           (3 )當(dāng)∠EMC = 90 °時(shí)，四邊形DCEF是菱形。 理由：如圖1， ∵∠EMC=∠ACD = 90°， ∴DC//EF， ∵∠BCA=∠DAC =30 °， ∴CB//AD， ∴四邊形DCEF是平行四邊形。 在Rt△ACD中， ∵AD = 8， ∴CD = AD·sin 30°=4，AC=， ∵ 點(diǎn)M為 AC中點(diǎn)， ∴CM =。 在Rt△BMC中， ∵ cos∠ECM = ， ∴CE = ， ∴ CE =CD， ∴四邊形DCEF是菱形。  (4)存在。      如圖2，過點(diǎn) B作BG⊥AD于點(diǎn) G， 則 AG = 2，BG =， 過點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H，設(shè)CE = x， 則HF =8 - 2 - x -x = 6-2x，BE = 8-x， ，， 當(dāng)EB = EF時(shí)，有， 解得xl =4，(不合題意，舍去)； 當(dāng)EB = BF時(shí)，有，解得； 當(dāng)EF = BF時(shí)，有， 解得，x2 = 8(不合題意，舍去)。 ∴當(dāng)CE的長(zhǎng)為4、或時(shí)，     △BEF為等腰三角形。