Question

如圖，任意四邊形ABCD，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于O點(diǎn)，過(guò)各頂點(diǎn)分別作對(duì)角線(xiàn)AC、BD的平行線(xiàn)，四條平行線(xiàn)圍成一個(gè)四邊形EFGH.試想當(dāng)四邊形ABCD的形狀發(fā)生改變時(shí)，四邊形EFGH的形狀會(huì)有哪些變化？完成以下題目：

  （1）當(dāng)ABCD為任意四邊形時(shí)，EFGH為_(kāi)_______________；

  當(dāng)ABCD為矩形時(shí)，EFGH為_(kāi)_______________；

  當(dāng)ABCD為菱形時(shí)，EFGH為_(kāi)_______________；

  當(dāng)ABCD為正方形時(shí)，EFGH為_(kāi)_______________；

  當(dāng)EFGH是矩形時(shí)，ABCD為_(kāi)_______________；

  當(dāng)EFGH是菱形時(shí)，ABCD為_(kāi)_______________；

  當(dāng)EFGH是正方形時(shí)，ABCD為_(kāi)_______________.

  （2）請(qǐng)選擇（1）中任意一個(gè)你所寫(xiě)的結(jié)論進(jìn)行證明.

   （3）反之，當(dāng)用上述方法所圍成的平行四邊形EFGH分別是矩形、菱形時(shí)，相應(yīng)的原四邊形ABCD必須滿(mǎn)足怎樣的條件？

 

Answer 1

【答案】

（1）平行四邊形；菱形；矩形；正方形；對(duì)角線(xiàn)垂直的四邊形；對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形；對(duì)角線(xiàn)相等且垂直的四邊形. （2）見(jiàn)解析（3）當(dāng)平行四邊形EFGH是矩形時(shí)，四邊形ABCD必須滿(mǎn)足：對(duì)角線(xiàn)互相垂直．  

當(dāng)平行四邊形EFGH是菱形時(shí)，四邊形ABCD必須滿(mǎn)足：對(duì)角線(xiàn)相等

【解析】（1）平行四邊形；菱形；矩形；正方形；對(duì)角線(xiàn)垂直的四邊形；對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形；對(duì)角線(xiàn)相等且垂直的四邊形.（2分）

  （2）結(jié)合圖形，聯(lián)想特殊四邊形的特征及識(shí)別很容易發(fā)現(xiàn)，其中的橋梁為AC、BD.

  證明：①當(dāng)ABCD為任意四邊形時(shí)，EFGH為平行四邊形

  ∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，

  ∴四邊形EFGH為平行四邊形.

  證②：若ABCD為矩形，則EFGH為菱形.

  ∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，

  ∴四邊形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均為平行四邊形，

  ∴EH＝AC＝FG，EF＝BD＝GH，

  ∵四邊形ABCD為矩形，

  ∴AC＝BD，

  ∴EH＝AC＝FG＝EF＝BD＝GH，

  ∴四邊形EFGH為菱形.

  ③若ABCD為菱形，則EFGH為矩形，留給同學(xué)們自己證.（5分）

 （3）當(dāng)平行四邊形EFGH是矩形時(shí)，四邊形ABCD必須滿(mǎn)足：對(duì)角線(xiàn)互相垂直．  

當(dāng)平行四邊形EFGH是菱形時(shí)，四邊形ABCD必須滿(mǎn)足：對(duì)角線(xiàn)相等．（3分）

（1）根據(jù)圖形的特點(diǎn)及性質(zhì)可直接判斷．

（2）利用兩條直線(xiàn)都平行于第三條直線(xiàn)，則這兩條直線(xiàn)平行，再利用兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形．

（3）和（2）中的問(wèn)題重合．主要是利用對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形以及一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形來(lái)進(jìn)行確定條件．