(1)①證明:在Rt△ABC中,
∵∠B=30°,AB=10,
∴∠CAB=60°,AC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
AB=5,
∵點F是AB的中點,
∴AF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
AB=5,
∴AC=AF,
∵△ADE是等邊三角形,
∴AD=AE,∠EAD=60°,
∵∠CAB=∠EAD,即∠CAD+∠DAB=∠FAE+∠DAB,
∴∠CAD=∠FAE,
在△AEF和△ADC中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/563490.png)
,
∴△AEF≌△ADC(SAS);
②∵△AEF≌△ADC,
∴∠AEF=∠C=90°,EF=CD=x,
又∵點F是AB的中點,
∴AE=BE=y,
在Rt△AEF中,勾股定理可得:y
2=25+x
2,
∴函數(shù)的解析式是y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/418411.png)
,定義域是0<x≤5
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
;
(2)①當(dāng)點在線段CB上時,
由∠DAB=15°,可得∠CAD=45°,△ADC是等腰直角三角形,
∴AD
2=50,
△ADE的面積為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/239371.png)
;
②當(dāng)點在線段CB的延長線上時,
由∠DAB=15°,可得∠ADB=15°,BD=BA=10,
∴在Rt△ACD中,勾股定理可得AD2=200+100
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,
△ADE的面積為50
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
+75,
綜上所述,△ADE的面積為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/239371.png)
或50
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
+75.
分析:(1)①在直角三角形ABC中,由30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC的長,再由F為AB中點,得到AC=AF=5,確定出三角形ADE為等邊三角形,利用等式的性質(zhì)得到一對角相等,砸由AD=AE,利用SAS即可得證;
②由全等三角形對應(yīng)角相等得到∠AEF為直角,EF=CD=x,在三角形AEF中,利用勾股定理即可列出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域;
(2)分兩種情況考慮:①當(dāng)點在線段CB上時;②當(dāng)點在線段CB的延長線上時,分別求出三角形ADE面積即可.
點評:此題考查了勾股定理,全等三角形的判定與性質(zhì),以及等邊三角形的性質(zhì),熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.