某市為了解城市的交通狀況,交通部門對某段道路車輛通行能力進行調(diào)查.一般情況下,在這段道路上通行的車流速度v (單位:千米/小時)是車流密度x (單位:輛/千米)的函數(shù).當車流密度達到300輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當車流密度不超過30輛/千米時,車流速度均為54千米/小時,調(diào)查表明:當30≤x≤300時,車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).
(1)當0≤x≤300時,求車流速度v與車流密度x的函數(shù)關系式;
(2)當車流密度x為多大時,車流量y(車流量=車流密度×車流速度,單位:輛/小時)可以達到最大,并求出最大值.
分析:(1)利用當0≤x≤30時,v=54;當30≤x≤300時,設v與x的一次函數(shù)關系為v=kx+b (k≠0 ),求出即可;
(2)利用(1)中所求,再利用車流量=車流密度×車流速度,得出函數(shù)關系是即可.
解答:解:(1)當0≤x≤30時,v=54;
當30≤x≤300時,設v與x的一次函數(shù)關系為v=kx+b (k≠0 ),
由已知得
300k+b=0
30k+b=54
,
解得:
k=-
1
5
b=60

綜上所述,v的表達式為 v=
54(0≤x<30)
-
1
5
x+60(30≤x≤300
;

(2)依題意,并由(1)可得
 y=
54x(0≤x<30)
-
1
5
x2+60x(30≤x≤300

當0≤x<30時,y隨x的增大而增大,其最大值小于1620;
30≤x≤300時,y=-
1
5
 (x-l50)2+4500,故當x=150時,其最大值為4500;
綜上所述,故當x=150輛/千米時,車流量的最大值為4500輛/小時.
點評:此題主要考查了二次函數(shù)的應用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識,注意自變量取值范圍不同函數(shù)解析式不同.
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