Question

如圖23，已知拋物線與軸相交于A、B兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線，且與x軸交于點(diǎn)D，AO=1．

1.填空：=_______。=_______，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(_______，_______)：

2.若線段BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E，交軸于點(diǎn)F．求FC的長(zhǎng)；

3.探究：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使⊙P與軸、直線BC都相切？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

 

1.，，5，0。

2.由（1）得拋物線的解析式為，化為頂點(diǎn)式為。

∴C（2，4）。

∵E為BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得E的坐標(biāo)為（3.5，2），……………………………..3分

設(shè)直線BC的表達(dá)式為，則，解得。

∴直線BC的表達(dá)式為�！�…………………………………………………………5分

設(shè)直線EF的表達(dá)式為，

∵EF為BC的中垂線，∴EF⊥BC�！嘤上嗨瓶傻�，即直線EF的表達(dá)式為。

把E（3.5，2）代入得 ，解得。

∴直線EF的表達(dá)式為 。……………………………………7分

在 中，令=0，得，解得�！郌（ ，0）。

∴FC=FB=5－。答：FC的長(zhǎng)是。……………………………8分

3.存在。作∠OBC的平分線交DC于點(diǎn)P，則P滿足條件。

設(shè)P（2，），則P到軸的距離等于P到直線BC的距離，都是||。

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（5，0），

∴CD=4，DB=5－2=3�！郆C= 。

∴sin∠BCD=�！�…………………………………………………………………10分

當(dāng)點(diǎn)P在軸上方時(shí)，得，解得。點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，）。

當(dāng)點(diǎn)P在軸下方時(shí)，得，解得。點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，－6）。

∴在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使⊙P與x軸、直線BC都相切，

點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，），（2，－6 ）�！�……………………………………………………12分

解析:（1）根據(jù)對(duì)稱軸和OA=1求出A、B的坐標(biāo)，代入解析式求出b、c即可；

（2）求出C（2，4）求得E的坐標(biāo)為（3.5，2）和直線BC的表達(dá)式為y=-x+，設(shè)直線EF的表達(dá)式為y=kx+b，根據(jù)EF為BC的中垂線求出k=和b=-推出直線EF的表達(dá)式為y=x-，令y=0，得x=即可求出答案；

（3）作∠OBC的平分線交DC于點(diǎn)P，設(shè)P（2，a），根據(jù)拋物線解析式求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)與點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用∠BCD的正弦列式即可求解