Question

【題目】如圖，菱形ABCD邊長(zhǎng)為5，頂點(diǎn)A，B在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上，且點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）若將上述拋物線進(jìn)行平移，使得平移后的拋物線的頂點(diǎn)P在直線BC上，且此時(shí)的拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)D，求平移后的拋物線解析式及其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)C（5，4）；（2）y＝﹣（x﹣5）2+4；（3）y＝﹣（x﹣2）2﹣8或y＝﹣（x+）2+24，點(diǎn)P（2，﹣8）或（﹣，24）.

【解析】

（1）OA=3，AD=5，則DO=4，故點(diǎn)D（0，4），點(diǎn)C（5，4）；
（2）拋物線的表達(dá)式為：y=a（x-5）2+4，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：a=-1，即可求解；
（3）直線BC的表達(dá)式為：；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（m，），而點(diǎn)D（0，4），則拋物線的表達(dá)式為：y=-（x-m）2，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式并整理得：3m2+4m-20=0，即可求解．

（1）OA＝3，AD＝5，則DO＝4，故點(diǎn)D（0，4），點(diǎn)C（5，4）；

（2）拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣5）2+4，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣5）2+4；

（3）點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），AB＝5，則點(diǎn)B（8，0），將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式y＝kx+b得：，解得：，

故直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+；

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（m，﹣m+），而點(diǎn)D（0，4），

則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣m）2﹣m+，

將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式并整理得：3m2+4m﹣20＝0，解得：m＝2或﹣，

故點(diǎn)P（2，﹣8）或（﹣，24），

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣2）2﹣8或y＝﹣（x+）2+24．