Question

【題目】小明在學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)教材中的一個(gè)有趣問(wèn)題做如下探究：

（習(xí)題回顧）已知：如圖1，在中，，是角平分線，是高，、相交于點(diǎn).求證：；

（變式思考）如圖2，在中，，是邊上的高，若的外角的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，其反向延長(zhǎng)線與邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則與還相等嗎？說(shuō)明理由；

（探究延伸）如圖3，在中，上存在一點(diǎn)，使得，的平分線交于點(diǎn).的外角的平分線所在直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).直接寫出與的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】[習(xí)題回顧]證明見解析；[變式思考] 相等，證明見解析；[探究延伸] ∠M+∠CFE=90°，證明見解析．

【解析】

[習(xí)題回顧]根據(jù)同角的余角相等可證明∠B=∠ACD，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證明；

[變式思考]根據(jù)角平分線的定義和對(duì)頂角相等可得∠CAE=∠DAF、再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等角的余角相等即可得出=；

[探究延伸]根據(jù)角平分線的定義可得∠EAN=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠M+∠CEF=90°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠CEF=∠CFE，由此可證∠M+∠CFE=90°．

[習(xí)題回顧]證明：∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵AE是角平分線，
∴∠CAF=∠DAF，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD，∠CEF=∠DAF+∠B，
∴∠CEF=∠CFE；

[變式思考]相等，理由如下：
證明：∵AF為∠BAG的角平分線，
∴∠GAF=∠DAF，

∵∠CAE=∠GAF，

∴∠CAE=∠DAF，
∵CD為AB邊上的高，∠ACB=90°,
∴∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠ACE=90°，

∴∠DAF+∠F=90°，∠E+∠CAE=90°，
∴∠CEF=∠CFE；

[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，
證明：∵C、A、G三點(diǎn)共線AE、AN為角平分線，
∴∠EAN=90°，

又∵∠GAN=∠CAM，
∴∠M+∠CEF=90°，
∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，
∴∠M+∠CFE=90°．