Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，∠ACO＝90°，∠AOC＝30°，分別以AO、CO為邊向外作等邊三角形△AOD和等邊三角形△COE，DF⊥AO于F，連DE交AO于G．

（1）求證：△DFG≌△EOG；

（2）H為AD的中點，連HG，求證：CD＝2HG；

（3）在（2）的條件下，AC＝4，若M為AC的中點，求MG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）本題考查全等三角形的判定，通過等邊三角形的性質(zhì)利用AAS定理解答本題．

（2）本題考查三角形中位線定理以及全等三角形的判定，通過構(gòu)造輔助線利用SAS定理解答．

（3）本題考查三角形中位線定理以及等邊三角形的證明，通過構(gòu)造輔助線，結(jié)合角度的計算加以證明，最后求解邊長．

證明：（1）如圖1，∵∠AOC＝30°，

∴∠GOE＝90°．

設(shè)AC＝a，則OA＝2a，OE＝OC＝a，

在等邊△AOD中，DF⊥OA，

∴DF＝a，

∴DF＝OE．

又∵∠DGF=∠EGO,∠DFG=∠EOG，

∴△DFG≌△EOG（AAS）．

（2）如下圖圖2所示，連接AE，

∵H、G分別為AD、DE的中點，

∴HG∥AE，HG＝AE．

∵DO=AO，CO=OE,∠DOC=∠AOE=90°，

∴△DOC≌△AOE（SAS），

∴DC＝AE，

∴DC＝2HG．

（3）如下圖圖2所示，連接HM，

∵H、M分別為AD、AC的中點，

∴HM＝CD．

∵DC=2HG，

∴HM＝HG．

又∠DHG＝∠DAE＝60°+∠OAE＝60°+∠ODC，∠AHM＝∠ADC，

∴∠MHG＝180°﹣∠AHM﹣∠DHG＝180°﹣∠ADC﹣60°﹣∠ODC＝120°﹣（∠ADC+∠ODC）＝120°﹣∠ADO＝60°，

∴△HMG為等邊三角形．

∵AC＝4，

∴OA＝OD＝8，OC＝，CD＝，

∴MG＝HG＝CD＝．