Question

8．如圖，一只杯子的上下底面分別是直徑為5cm和7.5cm的圓，母線(xiàn)AB的長(zhǎng)為15cm．
（1）求杯子的側(cè)面積．
（2）從點(diǎn)B出發(fā)，繞著杯子兩圈畫(huà)一條裝飾線(xiàn)，終點(diǎn)為A，求裝飾線(xiàn)的最短長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）將紙杯的側(cè)面展開(kāi)，設(shè)∠O的度數(shù)是n，則根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，可得7.5π=$\frac{nπ•OA}{180}$，5π=$\frac{nπ•（OA-15）}{180}$，解得OA=45cm，n=30°，最后求得紙杯的側(cè)面展開(kāi)圖的面積；
（2）將兩個(gè)紙杯的側(cè)面展開(kāi)圖拼接在一起，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，并運(yùn)用勾股定理，求得裝飾線(xiàn)的最短長(zhǎng)度即可．

解答 解：（1）紙杯的側(cè)面展開(kāi)如圖所示：

延長(zhǎng)AB，A'B'交于點(diǎn)O，
設(shè)∠O的度數(shù)是n，則
7.5π=$\frac{nπ•OA}{180}$，5π=$\frac{nπ•（OA-15）}{180}$，
解得：OA=45cm，n=30°，
∴BO=45-15=30cm，
∴紙杯的側(cè)面展開(kāi)圖的面積為：$\frac{30π•4{5}^{2}}{360}$-$\frac{30π•3{0}^{2}}{360}$=$\frac{375}{4}π$（cm²）；

（2）如圖所示，將兩個(gè)紙杯的側(cè)面展開(kāi)圖拼接在一起，連接BD，則BD的長(zhǎng)度是裝飾線(xiàn)的最短長(zhǎng)度．

過(guò)B作BE⊥OD于E，則Rt△BOE中，OB=30，∠BOE=60°，
∴OE=15cm，BE=15$\sqrt{3}$cm，
∴DE=45-15=30（cm），
∴在Rt△BDE中，BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（15\sqrt{3}）^{2}+3{0}^{2}}$=15$\sqrt{7}$（cm）．
故裝飾線(xiàn)的最短長(zhǎng)度為15$\sqrt{7}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面展開(kāi)-最短路線(xiàn)問(wèn)題，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，畫(huà)出平面展開(kāi)圖，作輔助線(xiàn)構(gòu)造扇形是解答此題的關(guān)鍵．