Question

將一個(gè)等腰直角三角板放在坐標(biāo)系中，如圖所示，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（0，2），B（2，1），C（1，-1），將三角板繞A點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)α°后，使B點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)D（-1，0）重合．
（1）寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)和α的值（直接寫出結(jié)果）；
（2）求出過B，C，E三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAD是以AD為腰的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)直接說出點(diǎn)E的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)的角度即可；
（2）將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式后利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式即可；
（3）設(shè)拋物線的對稱軸于x軸交于點(diǎn)F，以D點(diǎn)為圓心，以AD為半徑畫弧，交對稱軸于P₁，P₂，和以A為圓心，以AD為半徑畫弧交x軸與P₃，P₄，過A作AM垂直對稱軸于M，分別求得其點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）E（-3，1）α=90
（2）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c根據(jù)題意得：

解得：
∴解析式為：y=x²+x-2
（3）存在
①設(shè)拋物線的對稱軸于x軸交于點(diǎn)F，以D點(diǎn)為圓心，以AD為半徑畫弧，交對稱軸于P₁，P₂，
∵拋物線y=x²+x-2的對稱軸為x=-
∴DF=1-=
∵在Rt△ADO中，OA=2，OD=1
∴AD==
∴FP1==
∴P₁（-，）
∵點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂關(guān)于x軸對稱
∴P₂（-，-）
②以A為圓心，以AD為半徑畫弧交x軸與P₃，P₄，
過A作AM垂直對稱軸于M，同理可求得P₃M=P₄M=
∴FP₃=FM+MP₃=2+
∴P₃（-，2+）
FP₄=MP₄-FM=-2
∴P₄（-，2-）
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P₁（-，）、P₂（-，-）、P₃（-，2+）、P₄（-，2-）
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是解決存在性問題時(shí)很多時(shí)候都采用分類討論的方式確定點(diǎn)的坐標(biāo)．