Question

王老師從拉面的制作受到啟發(fā)，設(shè)計了一個數(shù)學問題：如圖，在數(shù)軸上截取從原點到1的對應點的線段AB，對折后（點A與B重合）再均勻地拉成1個單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（如在第一次操作后，原先段AB上的，均變成，變成1，等），那么在線段AB上（除A、B）的點中，問第n次操作，恰好被拉到與1重合的點所對應的數(shù)之和是________．

Answer 1

2^n-2
分析：根據(jù)題意，可知下一次的操作把上一次的對應點正好擴大了2倍．因為第一次操作后，原線段AB上的 ，均變成 ，則第二次操作后，恰好被拉到與1重合的點所對應的數(shù)是 和 ，則它們的和可求．根據(jù)題意，將恰好被拉到與1重合的點所對應的坐標列出數(shù)據(jù)，找出規(guī)律，列出通式即可．
解答：第一次操作后，原線段AB上的變?yōu)?，
第二次操作后，恰好被拉到與1重合的點所對應的數(shù)有2¹=2個，分別是和，其和為1，
第三次操作后，恰好被拉到與1重合的點所對應的數(shù)有2²=4個，分別是、、和，其和為2，
…，
可以推出第n次操作后，恰好被拉到與1重合的點所對應的數(shù)的通式為 、…，共有2^n-1個點，其和為==2^n-2．
故答案為：2^n-2．
點評：此題的難點是理解題意，能夠發(fā)現(xiàn)對應點之間的變化規(guī)律：下一次的操作把上一次的對應點正好擴大了2倍．解答本題的難點是根據(jù)數(shù)據(jù)列出通式，方便比較數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系．