Question

（2012•茂名）如圖，以AB為直徑的⊙O是△ADC的外接圓，過點O作PO⊥AB，交AC于點E，PC的延長線交AB的延長線于點F，∠PEC=∠PCE．
（1）求證：FC為⊙O的切線；
（2）若△ADC是邊長為a的等邊三角形，求AB的長．（用含a的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析：（1）連接OC．欲證FC為⊙O的切線，只需證明OC⊥FC即可；
（2）連接BC．由等邊三角形的性質(zhì)、“同弧所對的圓周角相等”推知∠ABC=∠ADC=60°；然后在直角△ABC中利用正弦三角函數(shù)的定義來求AB線段的長度．

解答：（1）證明：連接OC．
∵OA=OC（⊙O的半徑），
∴∠EAO=∠ECO（等邊對等角）．
∵PO⊥AB，∴∠EAO+∠AEO=90°（直角三角形中的兩個銳角互余）．
∵∠PEC=∠PCE（已知），∠PEC=∠AEO（對頂角相等）
∴∠AEO=∠PCE（等量代換），
∴∠PCO=∠ECO+∠PCE=∠EAO+∠AEO=90°．即OC⊥FC，
∵點C在⊙O上，
∴FC為⊙O的切線．

（2）解：連接BC．
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．
∵△ADC是邊長為a的等邊三角形，
∴∠ABC=∠D=60°，AC=a．
在Rt△ACB中，∵sin∠ABC=

AC

AB

∴AB=

a

sin60°

=

2 3

3

a．

點評：本題考查了圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)以及解直角三角形等知識點．
解直角三角形要用到的關(guān)系：①銳角直角的關(guān)系：∠A+∠B=90°；②三邊之間的關(guān)系：a²+b²=c²；③邊角之間的關(guān)系：
sinA=∠A的對邊斜邊=ac，cosA=∠A的鄰邊斜邊=bc，tanA=∠A的對邊∠A的鄰邊=ab．（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）