Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BF，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．

（1）求證：BE＝CE；

（2）若AB＝6，求弧DE的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)∠F的度數(shù)是多少時(shí)，BF與⊙O相切，證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）弧DE的長(zhǎng)為π；（3）當(dāng)∠F的度數(shù)是36°時(shí)，BF與⊙O相切．理由見(jiàn)解析.

【解析】

(1)連接AE，求出AE⊥BC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出即可；

(2)根據(jù)圓周角定理求出∠DOE的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)當(dāng)∠F的度數(shù)是36°時(shí)，可以得到∠ABF=90°，由此即可得BF與⊙O相切.

(1)連接AE，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴AE⊥BC，

∵AB=AC，

∴BE=CE；

(2)∵AB=AC，AE⊥BC，

∴AE平分∠BAC，

∴∠CAE=∠BAC=×54°=27°，

∴∠DOE=2∠CAE=2×27°=54°，

∴弧DE的長(zhǎng)=；

(3)當(dāng)∠F的度數(shù)是36°時(shí)，BF與⊙O相切，

理由如下：∵∠BAC=54°，

∴當(dāng)∠F=36°時(shí)，∠ABF=90°，

∴AB⊥BF，

∴BF為⊙O的切線(xiàn)．