Question

（2012•包頭）已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A，D兩點(diǎn)，拋物線y=-

1

2

x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，D，點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)M是直線AD上一點(diǎn)，且S_△AOM：S_△OMD=1：3，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如果點(diǎn)C（2，y）在這條拋物線上，在y軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使△BCP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先由已知的直線解析式確定點(diǎn)A、D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，在拋物線的解析式中，令y=0，即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）△AOM、△OMD中，它們的高都可視作點(diǎn)O到直線AD的距離，所以它們的面積比可轉(zhuǎn)化為底邊的比，即AM：MD=1：3，顯然MD＞AM，所以只需考慮點(diǎn)M在線段AD上以及點(diǎn)M在線段DA的延長(zhǎng)線上這兩種情況，可過點(diǎn)M作x軸的垂線，通過構(gòu)建相似三角形來(lái)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，在知道了點(diǎn)C、B的坐標(biāo)后，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出△BCP的三邊長(zhǎng)，分①CP=BP、②CP=BC、③BP=BC三種情況，列等式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，需要注意的是要利用點(diǎn)P在y軸正半軸上，將不合題意的解舍掉．

解答：解：（1）令y=0，則2x+4=0，
解得x=-2，
令x=0，則y=4，
所以，點(diǎn)A（-2，0）、D（0，4）；
代入拋物線y=-

1

2

x²+bx+c中，得：

- 1 2 ×4-2b+c=0 c=4

，解得

b=1 c=4

∴拋物線的解析式：y=-

1

2

x²+x+4；
令y=0，得：0=-

1

2

x²+x+4，解得 x₁=-2、x₂=4
∴點(diǎn)B（4，0）．

（2）∵S_△AOM：S_△OMD=1：3，∴AM：MD=1：3；
過點(diǎn)M作MN⊥x軸于N，如右圖；
①當(dāng)點(diǎn)M在線段AD上時(shí)，AM：AD=1：4；
∵M(jìn)N∥OD，∴△AMN∽△ADO
∴MN=

1

4

OD=1、AN=

1

4

OA=

1

2

、ON=OA-AN=2-

1

2

=

3

2

；
∴M（-

3

2

，1）；
②當(dāng)點(diǎn)M在線段DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，AM：AD=1：2；
∵M(jìn)N∥OD，∴△AMN∽△ADO
∴MN=

1

2

OD=2、AN=

1

2

OA=1、ON=OA+AN=3；
∴M（-3，-2）；
綜上，符合條件的點(diǎn)M有兩個(gè)，坐標(biāo)為：（-

3

2

，1）、（-3，-2）．

（3）當(dāng)x=2時(shí)，y=-

1

2

x²+x+4=4，∴點(diǎn)C（2，4）；
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m）（m＞0），則有：
CP²=m²-8m+20、BP²=m²+16、BC²=20；
①當(dāng)CP=BP時(shí)，m²-8m+20=m²+16，解得 m=

1

2

；
②當(dāng)CP=BC時(shí)，m²-8m+20=20，解得 m₁=0（舍）、m₂=8（舍去）；
③當(dāng)BP=BC時(shí)，m²+16=20，解得 m₁=-2（舍）、m₂=2；
綜上，存在符合條件的點(diǎn)P，坐標(biāo)為（0，

1

2

）或（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是函數(shù)解析式的確定、三角形面積的解法、相似三角形以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)；后兩題涉及的情況較多，都要進(jìn)行分類討論，以免出現(xiàn)漏解的情況．最后一題還要注意點(diǎn)P的位置，這是容易出錯(cuò)的地方．