Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=

2

m

x2-2x與x軸負半軸交于點A，頂點為B，且對稱軸與x軸交于點C．
（1）求點B的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）D為BO中點，直線AD交y軸于E，若點E的坐標為（0，2），求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點M在直線BO上，且使得△AMC的周長最小，P在拋物線上，Q在直線BC上，若以A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標．

Answer 1

（1）∵y=

2

m

x2-2x=

2

m

(x2-mx+

1

4

m2)-

2

m

•

1

4

m2=

2

m

(x-

1

2

m)2-

1

2

m，
∴拋物線的頂點B的坐標為(

1

2

m，-

1

2

m)．

（2）令

2

m

x2-2x=0，解得x₁=0，x₂=m．
∵拋物線y=

2

m

x2-2x與x軸負半軸交于點A，
∴A（m，0），且m＜0．
過點D作DF⊥x軸于F，如右圖；
由D為BO中點，DF∥BC，可得CF=FO=

1

2

CO．
∴DF=

1

2

BC．
由拋物線的對稱性得AC=OC．
∴AF：AO=3：4．
∵DF∥EO，
∴△AFD∽△AOE．
∴

FD

OE

=

AF

AO

．
由E（0，2），B(

1

2

m，-

1

2

m)，得OE=2，DF=-

1

4

m．
∴

- 1 4 m

2

=

3

4

．
∴m=-6．
∴拋物線的解析式為y=-

1

3

x2-2x．

（3）依題意，得A（-6，0）、B（-3，3）、C（-3，0）．可得直線OB的解析式為y=-x，直線BC為x=-3．
作點C關(guān)于直線BO的對稱點C′（0，3），連接AC′交BO于M，則M即為所求．
由A（-6，0），C′（0，3），可得直線AC′的解析式為y=

1

2

x+3．
由

y= 1 2 x+3 y=-x

解得

x=-2 y=2.

∴點M的坐標為（-2，2）．
由點P在拋物線y=-

1

3

x2-2x上，設P（t，-

1

3

t2-2t）．
（�。┊擜M為所求平行四邊形的一邊時．
①如右圖，過M作MG⊥x軸于G，過P₁作P₁H⊥BC于H，
則x_G=x_M=-2，x_H=x_B=-3．
∵四邊形AMP₁Q₁為平行四邊形，
∴AM=P₁Q₁，∠P₁Q₁H=∠AKC，
∵BK∥MG，
∴∠AMG=∠AKC，
∴∠P₁Q₁H=∠AMG，
∵

∠AGM=∠P1HQ1 ∠AMG=∠P1Q1H AM=P1Q1

，
∴△AMG≌△P₁Q₁H．
∴P₁H=AG=4．
∴t-（-3）=4．
∴t=1．
∴P1(1，-

7

3

)．
②如右圖，同①方法可得P₂H=AG=4．
∴-3-t=4．
∴t=-7．
∴P2(-7，-

7

3

)．
（ⅱ）當AM為所求平行四邊形的對角線時，如右圖；
過M作MH⊥BC于H，過P₃作P₃G⊥x軸于G，則x_H=x_B=-3，x_G=xP3=t．
由四邊形AP₃MQ₃為平行四邊形，可證△AP₃G≌△MQ₃H．
可得AG=MH=1．
∴t-（-6）=1．
∴t=-5．
∴P3(-5，

5

3

)．
綜上，點P的坐標為P1(1，-

7

3

)、P2(-7，-

7

3

)、P3(-5，

5

3

)．