Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E，CF⊥AF，且CF=CE．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若sin∠BAC=，求的值．
         

Answer 1

（1）證明：連接OC．

∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，
∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC。
∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BOC=∠BAF。
∴OC∥AF�！郈F⊥OC�！郈F是⊙O的切線。
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°。
∴S_△CBD=2S_△CEB，∠BAC=∠BCE�！唷鰽BC∽△CBE。
∴。∴。

（1）首先連接OC，由CD⊥AB，CF⊥AF，CF=CE，即可判定AC平分∠BAF，由圓周角定理即可得∠BOC=2∠BAC，則可證得∠BOC=∠BAF，即可判定OC∥AF，即可證得CF是⊙O的切線。
（2）由垂徑定理可得CE=DE，即可得S_△CBD=2S_△CEB，由△ABC∽△CBE，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，易求得△CBE與△ABC的面積比，從而可求得的值。