Question

在平面直角坐標系XOY中，一次函數(shù)的圖象是直線l₁，l₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點．直線l₂過點C（a，0）且與直線l₁垂直，其中a＞0．點P、Q同時從A點出發(fā)，其中點P沿射線AB運動，速度為每秒4個單位；點Q沿射線AO運動，速度為每秒5個單位．
（1）寫出A點的坐標和AB的長；
（2）當點P、Q運動了多少秒時，以點Q為圓心，PQ為半徑的⊙Q與直線l₂、y軸都相切，求此時a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點求法，分別求出坐標即可；
（2）根據(jù)相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及當⊙Q在y軸右側與y軸相切時，當⊙Q在y軸的左側與y軸相切時，分別分析得出答案．
解答：解：（1）∵一次函數(shù)的圖象是直線l₁，l₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，
∴y=0時，x=-4，
∴A（-4，0），AO=4，
∵圖象與y軸交點坐標為：（0，3），BO=3，
∴AB=5；
（2）由題意得：AP=4t，AQ=5t，==t，
又∠PAQ=∠OAB，
∴△APQ∽△AOB，
∴∠APQ=∠AOB=90°，
∵點P在l₁上，
∴⊙Q在運動過程中保持與l₁相切，
①當⊙Q在y軸右側與y軸相切時，設l₂與⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得：
∴，
∴PQ=6；
故AQ=10，則運動時間為：=2（秒）；
連接QF，則QF=PQ，
∵直線l₂過點C（a，0）且與直線l₁垂直，F(xiàn)Q⊥l₁，
∴∠APQ=∠QFC=90°，AP∥FQ，
∴∠PAQ=∠FQC，
∴△QFC∽△APQ，
∴△QFC∽△APQ∽△AOB，
得：，
∴，
∴，
∴QC=，
∴a=OQ+QC=OC=，
②如圖2，當⊙Q在y軸的左側與y軸相切時，設l₂與⊙Q相切于E，由△APQ∽△AOB得：=，
∴PQ=，
則AQ=4-=2.5，
∴則運動時間為：=（秒）；
故當點P、Q運動了2秒或秒時，以點Q為圓心，PQ為半徑的⊙Q與直線l₂、y軸都相切，
連接QE，則QE=PQ，
∵直線l₂過點C（a，0）且與直線l₁垂直，⊙Q在運動過程中保持與l₁相切于點P，
∴∠AOB=90°，∠APQ=90°，
∵∠PAO=∠BAO，
∴△APQ∽△AOB，
同理可得：△QEC∽△APQ∽△AOB得：=，
∴=，=，
∴QC=，a=QC-OQ=，
∴a的值是：和，
點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用數(shù)形結合進行分析注意分類討論才能得出正確答案．