Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）．

（1）四邊形EFGH的形狀是 ，證明你的結論．

（2）當四邊形ABCD的對角線滿足 條件時，四邊形EFGH是矩形．

（3）你學過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是菱形？ ．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形；（2）AC⊥BD；（3）矩形的中點四邊形是菱形

【解析】解：（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：

如圖1，連結BD．

∵E、H分別是AB、AD中點，

∴EH∥BD，EH=BD，

同理FG∥BD，F(xiàn)G=BD，

∴EH∥FG，EH=FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

故答案為：平行四邊形；

（2）當四邊形ABCD的對角線滿足互相垂直的條件時，四邊形EFGH是矩形．理由如下：

如圖2，連結AC、BD．

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，

∴EH∥BD，HG∥AC，

∵AC⊥BD，

∴EH⊥HG，

又∵四邊形EFGH是平行四邊形，

∴平行四邊形EFGH是矩形；

故答案為：AC⊥BD；

（3）矩形的中點四邊形是菱形．理由如下：

如圖3，連結AC、BD．

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，

∴EH=BD，F(xiàn)G=BD，EF=AC，GH=AC，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，∴EF=FG=GH=EH，

∴四邊形EFGH是菱形．