Question

【題目】如圖1，已知A（3，0）、B（4，4）、原點O（0，0）在拋物線y=ax2+bx+c （a≠0）上．

（1）求拋物線的解析式．

（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個交點D，求m的值及點D的坐標．

（3）如圖2，若點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點P的坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應(yīng)）

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣3x （2）m=4 點D的坐標為（2，﹣2） （3）點P的坐標為（）和（）

【解析】

試題（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進而得出答案即可。

（2）首先求出直線OB的解析式為y=x，進而將二次函數(shù)以一次函數(shù)聯(lián)立求出交點即可。

（3）首先求出直線A′B的解析式，進而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，進而求出點P1的坐標，再利用翻折變換的性質(zhì)得出另一點的坐標�！�

解：（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在拋物線y=ax2+bx+c （a≠0）上，

∴，解得：。

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣3x。

（2）設(shè)直線OB的解析式為y=k1x（ k1≠0），

由點B（4，4）得4=4 k1，解得k1=1。

∴直線OB的解析式為y=x，∠AOB=45°。

∵B（4，4），∴點B向下平移m個單位長度的點B′的坐標為（4，0）。∴m=4。

∴平移m個單位長度的直線為y=x﹣4。

解方程組，解得：。

∴點D的坐標為（2，﹣2）。

（3）∵直線OB的解析式y(tǒng)=x，且A（3，0），

∴點A關(guān)于直線OB的對稱點A′的坐標為（0，3）。

設(shè)直線A′B的解析式為y=k2x+3，此直線過點B（4，4）。

∴4k2+3=4，解得 k2=。

∴直線A′B的解析式為y=x+3。

∵∠NBO=∠ABO，∴點N在直線A′B上。

設(shè)點N（n， n+3），

又點N在拋物線y=x2﹣3x上，

∴n+3=n2﹣3n，解得 n1=，n2=4（不合題意，舍去）。

∴點N的坐標為（）。

如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N1OB1，

則 N1 （），B1（4，﹣4）。

∴O、D、B1都在直線y=﹣x上。

∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1。∴P1為O N1的中點。

∴。∴點P1的坐標為（）。

將△P1OD沿直線y=﹣x翻折，可得另一個滿足條件的點到x軸距離等于P1到y(tǒng)軸距離，點到y(tǒng)軸距離等于P1到x軸距離，

∴此點坐標為：（）。

綜上所述，點P的坐標為（）和（）。