Question

已知直線與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn)，
①求拋物線的解析式；
②在拋物線上是否存在一點(diǎn)P（除點(diǎn)A外），使點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q恰好在x軸上？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求得此時(shí)四邊形APBQ的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線y₁與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求得A與B的坐標(biāo)，然后由待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）首先過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA于H，由OB=，OA=3，根據(jù)tan∠BAO=，即可求得∠BAO=30°，又由PQ關(guān)于AB對(duì)稱，∠OAB=60°，然后設(shè)P的坐標(biāo)為（x，-x²+x+），即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，繼而求得此時(shí)四邊形APBQ的面積．
解答：解：①∵直線y₁與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=，
當(dāng)y=0時(shí)，x=3，
∴A（3，0），B（0，），
∵拋物線y₂過(guò)A、B兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+x+=-（x-1）²+；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA于H，
∵OB=，OA=3，
∴tan∠BAO==，
∴∠BAO=30°，
∵PQ關(guān)于AB對(duì)稱，
∴∠OAP=60°，
設(shè)P的坐標(biāo)為（x，-x²+x+），
∴OH=x，AH=3-x，
∴tan∠OAP=tan60°===，
解得：x=2或x=3（舍去），
∴點(diǎn)P（2，），
∴AP=2，
∴PQ=2，
∵AB=2，
∴S_{四邊形APBQ}=PQ•AB=×2×2=2．
∴存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，），此時(shí)四邊形APBQ的面積為2．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．