Question

已知直線與x、y軸分別交于A、B兩點，拋物線過A、B兩點，
①求拋物線的解析式；
②在拋物線上是否存在一點P（除點A外），使點P關(guān)于直線的對稱點Q恰好在x軸上？若不存在，請說明理由；若存在，求出點P的坐標，并求得此時四邊形APBQ的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線y₁與x、y軸分別交于A、B兩點，求得A與B的坐標，然后由待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）首先過點P作PH⊥OA于H，由OB=，OA=3，根據(jù)tan∠BAO=，即可求得∠BAO=30°，又由PQ關(guān)于AB對稱，∠OAB=60°，然后設(shè)P的坐標為（x，-x²+x+），即可求得點P的坐標，繼而求得此時四邊形APBQ的面積．
解答：解：①∵直線y₁與x、y軸分別交于A、B兩點，
∴當(dāng)x=0時，y=，
當(dāng)y=0時，x=3，
∴A（3，0），B（0，），
∵拋物線y₂過A、B兩點，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+x+=-（x-1）²+；

（2）如圖，過點P作PH⊥OA于H，
∵OB=，OA=3，
∴tan∠BAO==，
∴∠BAO=30°，
∵PQ關(guān)于AB對稱，
∴∠OAP=60°，
設(shè)P的坐標為（x，-x²+x+），
∴OH=x，AH=3-x，
∴tan∠OAP=tan60°===，
解得：x=2或x=3（舍去），
∴點P（2，），
∴AP=2，
∴PQ=2，
∵AB=2，
∴S_{四邊形APBQ}=PQ•AB=×2×2=2．
∴存在，點P的坐標為（2，），此時四邊形APBQ的面積為2．
點評：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．