如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（-4，0），點C為y軸上一動點，連接AC，過點精英家教網(wǎng)C作CB⊥AC，交x軸于B．
（1）當點B坐標為（1，0）時，求點C的坐標；
（2）如果sinA和cosA是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0的兩個實數(shù)根，過原點O作OD⊥AC，垂足為D，且點D的縱坐標為a2，求b的值．
分析：（1）在直角三角形AOC、BOC、ABC中，根據(jù)數(shù)量關(guān)系利用勾股定理可求出點C的坐標；
（2）先利用根與系數(shù)的關(guān)系確定a、b的數(shù)量關(guān)系，再利用三角函數(shù)和三角形的面積公式求出a2的值．
解答：解：（1）在Rt△AOC中，AO2+OC2=AC2，∴42+OC2=AC2． ①
在Rt△BOC中，BO2+OC2=BC2，∴12+OC2=BC2． ②
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴AC2+BC2=52． ③
由①、②兩式可得AC2-BC2=15，
與第③式聯(lián)立可解得BC=
5
，AC=2
5
．
∴OC=2．
∴點C的坐標為（0，2）．

（2）∵sinA和cosA是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0的兩個實數(shù)根，
∴sinA+cosA=-a，sinA•cosA=b．
又∵sinA2+cosA2=1，
精英家教網(wǎng)則sinA2+cosA2=（sinA+cosA）2-2sinA•cosA=a2-2b=1．
∴a2=2b+1①，
在Rt△ADE中，sinA=
DE
AD
，
在Rt△AOD中，cosA=
AD
OA
，
∴sinA•cosA=
DE
AD
•
AD
OA
=
DE
OA
=
a2
4
=b，
∴a2=4b②，
由①②，可得b=
1
2
．
點評：此題綜合考查了一元二次方程與解直角三角形的關(guān)系，難度較大．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

18、如圖，在直角坐標系中，已知點A（-3，0），B（0，4），對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到三角形①、②、③、④…，則三角形⑦的直角頂點的坐標為
（24，0）
．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標系中，點P的坐標為（3，4），將OP繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OP′．
（1）在圖中畫出線段OP′；
（2）求P′的坐標和
PP′
的長度．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在直角坐標系中，O為原點．反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象經(jīng)過第一象限的點A，點A的縱坐標是橫坐標的
3
2
倍．
（1）求點A的坐標；
（2）如果經(jīng)過點A的一次函數(shù)圖象與x軸的負半軸交于點B，AC⊥x軸于點C，若△ABC的面積為9，求這個一次函數(shù)的解析式．
（3）點D在反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象上，且點D在直線AC的右側(cè)，作DE⊥x軸于點E，當△ABC與△CDE相似時，求點D的坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（-6，0），B（-4，6），C（0，2）．畫出△ABC的兩個位似圖形△A1B1C1，△A2B2C2，同時滿足下列兩個條件：
（1）以原點O為位似中心；
（2）△A1B1C1，△A2B2C2與△ABC的面積比都是1：4．（作出圖形，保留痕跡，標上相應字母）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在直角坐標系中，已知點A（-4，0），B（0，3），對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到三角形（1），三角形（2），三角形（3），三角形（4），…，

（1）△AOB的面積是
6
6
；
（2）三角形（2013）的直角頂點的坐標是
（8052，0）
（8052，0）
．

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