Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，3），動(dòng)點(diǎn)M，N分別從O，B同時(shí)出發(fā)．以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒．
（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

 

，

 

）（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）試求△NPC面積S的表達(dá)式，并求出面積S的最大值及相應(yīng)的x值；
（3）設(shè)四邊形OMPC的面積為S₁，四邊形ABNP的面積為S₂，請(qǐng)你就x的取值范圍討論S₁與S₂的大小關(guān)系并說明理由；
（4）當(dāng)x為何值時(shí)，△NPC是一個(gè)等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題意得到C、M、N三點(diǎn)的坐標(biāo)值．根據(jù)三角形中三角函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得到P點(diǎn)的坐標(biāo)值．
（2）設(shè)△NPC的面積為S．在△NPC，根據(jù)（1）可知CN的長(zhǎng)關(guān)于x的表達(dá)式，NC邊上的高關(guān)于x的表達(dá)式．再利用三角形面積的計(jì)算公式求得，S關(guān)于x二次函數(shù)表達(dá)式．在x的取值范圍內(nèi)求該二次函數(shù)的最大值．
（3）根據(jù)梯形的面積計(jì)算公式寫出S₁關(guān)于x的表達(dá)式，根據(jù)S₂=S_△ABC-S_△PCN寫出關(guān)于x的關(guān)系式．再就0＜x＜4的取值，討論S₁與S₂的大小關(guān)系．
（4）首先延長(zhǎng)MP交CB于Q，則有PQ⊥BC．再分解就①若NP=CP；②若CP=CN；③若CN=NP三種情況討論x的取值．

解答：解：（1）由題意可知，C（0，3），M（x，0），N（4-x，3），
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，3-

3

4

x)（2分）

（2）設(shè)△NPC的面積為S，
在△NPC中，NC=4-x，NC邊上的高為

3

4

x，其中，0≤x≤4，
∴S=

1

2

（4-x）×

3

4

x=-

3

8

（x-2）²+

3

2

，
∴S的最大值為

3

2

，此時(shí)x=2（3分）

（3）由圖形知，S₁=

1

2

(OC+MP)•OM=

1

2

(3+3-

3

4

x)•x
S₂=S_△ABC-S_△PCN=

1

2

•4•3-

1

2

(4-x)×

3

4

x；
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，S₁＜S₂；當(dāng)x=2時(shí)，S₁=S₂；當(dāng)2＜x＜4時(shí)，S₁＞S₂；（3分）

（4）延長(zhǎng)MP交CB于Q，則有PQ⊥BC．
①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=

4

3

．
②若CP=CN，則，CN=4-x，PQ=

3

4

x，CP=

5

4

x，4-x=

5

4

x∴x=

16

9

．
③若CN=NP，則CN=4-x．∵PQ=

3

4

x，NQ=4-2x，在Rt△PNQ中，PN²=NQ²+PQ²
∴（4-x）²=（4-2x）²+（

3

4

x）²，∴x=

128

57

．
綜上所述，x=

4

3

，或x=

16

9

，或x=

128

57

．（3分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)、梯形面積、三角形面積的求法等重要知識(shí)點(diǎn)，用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問題要全面，做到不重不漏．