Question

8．如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，EF與BD交于G，且∠DEF=60°，若AD=3，AE=2，則sin∠BEF=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 作EH⊥AD于H，由含30°角的直角三角形的性質得出AH，求出DH，由勾股定理EH，由勾股定理求出DE，由三角形的外角性質得出∠BEF=∠ADE，求出sin∠ADE即可．

解答 解：作EH⊥AD于H，如圖所示：
則∠AEH=90°-∠A=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AE=1，
∴EH=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵AD=3，
∴DH=AD-AH=2，
在Rt△DEH中，根據勾股定理得，DE=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵∠DEF+∠BEF=∠A+∠ADE，∠DEF=60°=∠A，
∴∠BEF=∠ADE，
∴sin∠BEF=sin∠ADE=$\frac{EH}{DE}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查了菱形的性質和相似三角形的判定與性質以及銳角三角函數的運用，證明三角形相似是解決問題的關鍵．