Question

【題目】如圖，⊙O 的半徑為 3，AB 為圓上一動弦，以 AB 為邊作正方形 ABCD，求 OD 的最大值__．

Answer 1

【答案】3＋3

【解析】

把AO繞點A順時針旋轉90得到AO′，得到△AOO′是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出OO′，再根據正方形的性質可得AB＝AD，再求出∠BAO＝∠DAO′，然后利用“邊角邊”證明△ABO和△ADO′全等，根據全等三角形對應邊相等可得DO′＝BO，再根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊求解即可．

如圖，連接AO、BO、把AO繞點A順時針旋轉90得到AO′，連接DO’

∴△AOO′是等腰直角三角形，

∵AO＝3，

∴OO′＝=3，

在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90，

∵∠BAO＋∠BAO′＝∠DAO′＋∠BAO′＝90，

∴∠BAO＝∠DAO′，

在△ABO和△ADO′，

，

∴△ABO≌△ADO′（SAS），

∴DO′＝BO＝3，

∴OO′＋O′D≥OD，

當O、O′、D三點共線時，取“＝”，

此時，OD的最大值為3＋3．

故答案為：3＋3．