Question

已知拋物線．

(1)試說明：無論m為何實數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；

(2)如圖，當該拋物線的對稱軸為直線x=3時，拋物線的頂點為點C，直線y=x－1與拋物線交于A、B兩點，并與它的對稱軸交于點D．

①拋物線上是否存在一點P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；

②平移直線CD，交直線AB于點M，交拋物線于點N，通過怎樣的平移能使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【解】 (1)====，∵不管m為何實數(shù)，總有≥0，∴=＞0，∴無論m為何實數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點．

 (2)∵ 拋物線的對稱軸為直線x=3，∴，

拋物線的解析式為=，頂點C坐標為（3，－2），

解方程組，解得或，所以A的坐標為（1，0）、B的坐標為（7，6），∵時y=x－1=3－1=2，∴D的坐標為（3，2），設拋物線的對稱軸與軸的交點為E，則E的坐標為（3，0），所以AE=BE=3，DE=CE=2，

①     假設拋物線上存在一點P使得四邊形ACPD是正方形，則AP、CD互相垂直平分且相等，于是P與點B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故拋物線上不存在一點P使得四邊形ACPD是正方形．

②     (Ⅰ)設直線CD向右平移個單位（＞0）可使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，則直線CD的解析式為x=3，直線CD與直線y=x－1交于點M（3，2），又∵D的坐標為（3，2），C坐標為（3，－2），∴D通過向下平移4個單位得到C．

∵C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，∴四邊形CDMN是平行四邊形或四邊形CDNM是平行四邊形．

（�。┊斔倪呅�CDMN是平行四邊形，∴M向下平移4個單位得N，

∴N坐標為（3，），

又N在拋物線上，∴，

解得（不合題意，舍去），，

（ⅱ）當四邊形CDNM是平行四邊形，∴M向上平移4個單位得N，

∴N坐標為（3，），

又N在拋物線上，∴，

解得（不合題意，舍去），，

(Ⅱ) 設直線CD向左平移個單位（＞0）可使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，則直線CD的解析式為x=3，直線CD與直線y=x－1交于點M（3，2），又∵D的坐標為（3，2），C坐標為（3，－2），∴D通過向下平移4個單位得到C．

∵C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，∴四邊形CDMN是平行四邊形或四邊形CDNM是平行四邊形．

（�。┊斔倪呅�CDMN是平行四邊形，∴M向下平移4個單位得N，

∴N坐標為（3，），

又N在拋物線上，∴，

解得（不合題意，舍去），（不合題意，舍去），

（ⅱ）當四邊形CDNM是平行四邊形，∴M向上平移4個單位得N，

∴N坐標為（3，），

又N在拋物線上，∴，

解得，（不合題意，舍去），

綜上所述，直線CD向右平移2或（）個單位或向左平移（）個單位，可使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．