Question

如圖，A、B、C、D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，AB=AC，AD交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：∠ABC=∠ADB；
（2）若AE=2，ED=4，求AB的長(zhǎng)；
（3）若BD為⊙O的直徑，在（2）的條件下，判斷AC與BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AB=AC，那么弧AB=弧AC，根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．
（2）可通過(guò)相似三角形得出線段成比例，然后求長(zhǎng)度，（1）中已得出∠ABC=∠ADB，那么三角形ABE，ABE就相似（有一個(gè)公共角）．可得出關(guān)于AE、AB、AD的關(guān)系式，有AE的長(zhǎng)，有AD的長(zhǎng)，那么就能求出AB的長(zhǎng)了．
（3）可從角的度數(shù)入手，根據(jù)（2）中得出的數(shù)據(jù)不難求出∠D的度數(shù)，也就求出了∠ABD、∠ACB、∠ABC的度數(shù)，然后根據(jù)計(jì)算得出∠CBD和∠ACB的度數(shù)，進(jìn)行比較，看他們是否平行或是其他的什么位置關(guān)系．
解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴弧AB=弧AC．
∴∠ABC=∠ADB．

（2）解：∵∠ABE=∠ADB，∠BAE=∠BAD，
∴△ABE∽△ADB．
∴=．
∵AE=2，AD=AE+ED=2+4=6，
∴=．
∴AB=2．

（3）解：AC∥BD．理由如下：
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°．
∵AB=2，AD=6，
∴在Rt△BAD中，tan∠BDA==．
∴∠BDA=30°．
∴∠ACB=30°．
∴∠ACB=∠ABC=30°．
∴∠BAC=120°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°．
∴∠CAD=∠BDA．
∴AC∥BD．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了同弧所對(duì)的圓周角相等、直徑所對(duì)的圓周角為直角及相似三角形的知識(shí)．