Question

已知：如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與BC相交于點D，DE⊥AB，垂足為E，ED的延長線與AC的延長線交于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，CF=2，求BE的長．

Answer 1

分析：（1）連接AD、OD證得AD⊥BC，從而證得OD⊥DE后即可得到DE是圓O的切線；
（2）根據(jù)平行得到比例式后求得AE的長后即可求得BE的長．

解答：（1）證明：連接AD、OD，
∵AC是⊙0直徑，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，（1分）
∵AC=AB，
∴BD=DC，（2分）
∵AO=OC，
∴OD∥AB，（3分）
∵AB⊥DE，
∴OD⊥DE，（4分）
∴DE是⊙0的切線；（5分）


（2）∵OD∥AB，
∴

FO

FA

=

OD

AE

，
∵FC=2，OA=OD=OC=3，
∴FO=5，F(xiàn)A=8，
∴AE=

FA×OD

FO

=

24

5

=4.8，（8分）
∴BE=AB-AE=AC-AE=6-4.8=1.2．（9分）

點評：本題考查了切線的判定、圓周角定理、平行線分線段成比例定理等知識，是一道比較好的數(shù)學綜合題．