Question

（2012•黃陂區(qū)模擬）如圖，Rt△ACD中，∠ACD=90°．以AC邊為直徑作⊙O，交AD于E．過E作⊙O的切線EB，交CD于B．連接EC、AB，交于F點．
（1）求證：EB=

1

2

CD；
（2）若

EF

FC

=

1

3

，求tan∠ABC的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角為直角可得∠AEC=90°，再根據(jù)切線的判定可證明CB為圓的切線，再根據(jù)切線長定理即可證明BE=

1

2

CD；
（2）連接OB，交EC于G，設(shè)BG=AE=2x，利用條件證明AE∥BG，進而證明△AEF∽△BGF，利用相似三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可求出tan∠ABC的值．

解答：（1）證明：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠AEC=90°，
∴∠DEC=90°．
∵∠ACB=90°，
∴CB是⊙O的切線，
又EB是⊙O的切線，
∴BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE，
可得∠DEB=∠D．
∴BE=BD，
∴BE=

1

2

CD；

（2）解：連接OB，交EC于G．
可得OB⊥EC，EG=CG．
∴AE∥BG．
∵

EF

FC

=

1

3

，可得EF=FG．
∵AE∥BG，
∴△AEF∽△BGF，得BG=AE，
設(shè)BG=AE=2x，
∴OG=x．
∵CG⊥OB，∠OCB=90°，
可得OC=

3

x，BC=

6

x．
在Rt△ACB中，∵AC=2OC=2

3

x，BC=

6

x．
∴tan∠ABC=

AC

BC

=

2 3 x

6 x

=

2

．

點評：本題綜合性的考查了圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)切線長定理以及等腰三角形的判斷和性質(zhì)和相似三角形的判斷和性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)，題目的難度不�。�