等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=4
2
,AD=
2
,∠B=45°,直角三角板含45°角精英家教網的頂點E在邊BC上移動(不與點C重合),一直角邊始終經過點A(如圖),斜邊與CD交于點F,設BE=x,CF=y
(1)求證:△ABE∽△ECF;
(2)求y關于x的函數(shù)解析式,并求出當點E移動到什么位置時y的值最大,最大值是多少?
(3)連接AF,當△AEF為直角三角形時,求x的值;
(4)求點E移動過程中,△ADF外接圓半徑的最小值.
分析:(1)由題意易證∠1=∠3,從而得出△ABE∽△ECF;
(2)由相似得出比例式,即可得出y是x的二次函數(shù),求出y的最大值即可;
(3)分兩種情況①∠EAF=90°時,②∠EFA=90°時,得出x的值;
(4)設△ADF外接圓半徑為r,作FH⊥AD于H,由勾股定理可求出r的最小值.
解答:精英家教網解:(1)∵∠AEF=∠B=∠C=45°,
∴∠1+∠2=∠2+∠3=135°,
∴∠1=∠3,
∴△ABE∽△ECF;

(2)AB=(4
2
-
2
)÷2×
2
=3,
由(1)得,
BE
CF
=
AB
CE
,即
x
y
=
3
4
2
-x
,
∴y=
1
3
x(4
2
-x)=-
1
3
x2+
4
2
3
x(0<x<4
2
),精英家教網
當x=2
2
即E為BC的中點時,ymax=
8
3
;

(3)(i)如圖i.當∠EAF=90°時,EF=
2
AE,
∴EC=
2
AB,即4
2
-x=
2
×3,
∴x=
2

(ii)如圖ii:∠EFA=90°時,∴AE=
2
EF,精英家教網
∴AB=
2
EC,即3=
2
(4
2
-x),
∴x=
5
2
2


(4)設△ADF外接圓的圓心為O,其半徑為r.
∵∠ADF=135°,
∴劣弧AF所對圓周角為45°
∴劣弧AF所對圓心角∠AOF=90°,
∴AF=
2
r,
當AF最小時,r也最��;精英家教網
又∵當CF最大時,AF最小,
此時DF=DC-CF=3-
8
3
=
1
3
,
作FH⊥AD于H,則FH=DH=
2
6
,
∴AFmin=
AH2+FH2
=
10
6
=
5
3
,
∴rmin=
5
2
6
點評:本題考查了相似三角形的判定和性質、二次函數(shù)的最值問題以及等腰梯形的性質,是一道綜合題,難度較大.
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