如圖,在?ABCD中,AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC,交CD于點(diǎn)E、F,AE、BF相交于點(diǎn)M.
(1)試說(shuō)明:AE⊥BF;
(2)判斷線段DF與CE的大小關(guān)系,并予以說(shuō)明.

【答案】分析:(1)因?yàn)锳E,BF分別是∠DAB,∠ABC的角平分線,那么就有∠MAB=∠DAB,∠MBA=∠ABC,而∠DAB與∠ABC是同旁內(nèi)角互補(bǔ),所以,能得到∠MAB+∠MBA=90°,即得證.
(2)兩條線段相等.利用平行四邊形的對(duì)邊平行,以及角平分線的性質(zhì),可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形,那么就有CF=BC=AD=DE,再利用等量減等量差相等,可證.
解答:解:
(1)方法一:如圖①,
∵在?ABCD中,AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.(1分)
∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC,
∴∠DAB=2∠BAE,∠ABC=2∠ABF.(2分)
∴2∠BAE+2∠ABF=180°.
即∠BAE+∠ABF=90°.(3分)
∴∠AMB=90°.
∴AE⊥BF.(4分)
方法二:如圖②,延長(zhǎng)BC、AE相交于點(diǎn)P,
∵在?ABCD中,AD∥BC,
∴∠DAP=∠APB.(1分)
∵AE平分∠DAB,
∴∠DAP=∠PAB.(2分)
∴∠APB=∠PAB.
∴AB=BP.(3分)
∵BF平分∠ABP,
∴AP⊥BF,
即AE⊥BF.(4分)

(2)方法一:線段DF與CE是相等關(guān)系,即DF=CE,(5分)
∵在?ABCD中,CD∥AB,
∴∠DEA=∠EAB.
又∵AE平分∠DAB,
∴∠DAE=∠EAB.
∴∠DEA=∠DAE.
∴DE=AD.(6分)
同理可得,CF=BC.(7分)
又∵在?ABCD中,AD=BC,
∴DE=CF.
∴DE-EF=CF-EF.
即DF=CE.(8分)
方法二:如圖,延長(zhǎng)BC、AE設(shè)交于點(diǎn)P,延長(zhǎng)AD、BF相交于點(diǎn)O,
∵在?ABCD中,AD∥BC,
∴∠DAP=∠APB.
∵AE平分∠DAB,
∴∠DAP=∠PAB.
∴∠APB=∠PAB.
∴BP=AB.
同理可得,AO=AB.
∴AO=BP.(6分)
∵在?ABCD中,AD=BC,
∴OD=PC.
又∵在?ABCD中,DC∥AB,
∴△ODF∽△OAB,△PCE∽△PBA.(7分)
=,=
∴DF=CE.(8分)
點(diǎn)評(píng):本題利用了角平分線的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)以及等量減等量差相等等知識(shí).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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29
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拓展:如圖③,在?ABCD中,AD=BD,點(diǎn)O是AD邊的垂直平分線與BD的交點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在OA、AD的延長(zhǎng)線上.若AE=DF,∠ADB=50°,∠AFB=32°,求∠ADE的度數(shù).

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(2)設(shè)y=x1+x2,當(dāng)y取得最小值時(shí),求相應(yīng)m的值,并求出最小值.
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