解:(1)∵OA=4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,AB=4,∠OAB=90°,
∴tan∠AOB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/379259.png)
,
∴∠AOB=30°,
∵OA=OH,OB=OB,∠BAO=∠BHO=90°,
∴Rt△AOB≌Rt△HOB(HL),
∴∠BOH=∠AOB=30°,
∴∠HOC=30°;
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201304/51d662fba7414.png)
(2)①過點(diǎn)N與H作NK⊥x軸,
∴NK∥OA,
∴△POQ∽△PKN,
∴當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/379260.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
時(shí),
∵OQ=4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
-t,OP=t,
∴PK=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
t,NK=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
(4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
-t),
∴OK=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
t,
∵∠HOC=30°,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/379261.png)
,
∴t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/102695.png)
,
∴當(dāng)t為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/102695.png)
時(shí),QP=2PN;
②
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201304/51d662fbd283b.png)
當(dāng)QP⊥OH時(shí),△OPQ∽△HOB.
∵∠QPO=∠OHB=90°,∠QOP=∠OBH=60°,
∴△OPQ∽△HOB,
∴cos∠QOP=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/379262.png)
,
∴t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1165.png)
,
∴當(dāng)t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1165.png)
時(shí),△OPQ與△HOB相似.
③當(dāng)PQ⊥OA時(shí),△OPQ∽△BOH,
cos∠QOP=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/119112.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/379263.png)
,
解得:t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1190.png)
.
分析:(1)首先由三角函數(shù),求得∠AOB的度數(shù),由HL,可證得Rt△AOB≌Rt△HOB,即可求得∠HOC的度數(shù);
(2)首先作輔助線:過點(diǎn)N與H作NK⊥x軸,即可得到相似三角形:△POQ∽△PKN,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可求得t的值;
(3)由相似三角形的判定,易得當(dāng)QP⊥OH時(shí),△OPQ∽△HOB,由三角函數(shù)的性質(zhì),即可求得當(dāng)t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1165.png)
時(shí),△OPQ與△HOB相似.
點(diǎn)評:此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),以及三角函數(shù)的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì).題目綜合性很強(qiáng),難度比較大,解題時(shí)要注意仔細(xì)分析求解.