Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-2，0），O（0，0），B（0，2），把Rt△AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△BOC，（點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B的位置），拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，頂點(diǎn)為點(diǎn)P，對稱軸為直線x=3，
（1）求該拋物線的解析式；
（2）連接BC，CP，PD，BD，求四邊形PCBD的面積；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得：B（0，2），C（2，0），對稱軸x=3，
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）²+k，
∵拋物線經(jīng)過B（0，2），C（2，0），
∴2=9a+k，0=a+k
解得：a=，k=-，
∴y=（x-3）²-，
∴拋物線的解析式為y=x²-；

（2）設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為N，
由圖可知：CD=2，
S_△BCD=•CD•OB=×2×2=2，
S_△pCD=CD•PN=CD•|P_y|=×2×=，
∴S_{四邊形PCBD}=S_△BCD+S_△pCD=2+=；

（3）假設(shè)存在一點(diǎn)M，使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積．
即：S_△MCD=S_{四邊形PCBD}，
CD•|M_y|=×，
|M_y|=，
又∵點(diǎn)M在拋物線上，
∴|x²-|=，
∴x²-=±，
∴x²-6x+8=±3，
∴x²-6x+5=0或x²-6x+11=0，
由x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1，
由x²-6x+11=0，
∵b²-4ac=36-44=-8＜0，
∴此方程無實(shí)根．
當(dāng)x₁=5時(shí)，y₁=；當(dāng)x₂=1時(shí)，y₂=．
∴存在一點(diǎn)M（5，），或（1，）使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積．
分析：（1）由于拋物線的對稱軸是x=3，可設(shè)拋物線的解析式為頂點(diǎn)式，即設(shè)y=a（x-3）²+k，又拋物線經(jīng)過B（0，2），C（2，0），用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）如果設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為N，那么S_{四邊形PCBD}=S_△BCD+S_△pCD，根據(jù)三角形的面積公式即可求出四邊形PCBD的面積；
（3）首先根據(jù)△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積，求出M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值，再由M點(diǎn)在拋物線y=x²-上，求出對應(yīng)的x的值，進(jìn)而得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．