Question

（2012•海淀區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=

2

m

x2-2x與x軸負半軸交于點A，頂點為B，且對稱軸與x軸交于點C．
（1）求點B的坐標 （用含m的代數(shù)式表示）；
（2）D為BO中點，直線AD交y軸于E，若點E的坐標為（0，2），求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點M在直線BO上，且使得△AMC的周長最小，P在拋物線上，Q在直線 BC上，若以A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用配方法或公式法都能求出點B的坐標．
（2）可過點D作DF⊥x軸于F，那么DF是△BOC的中位線，由此得出DF、OF、CF的長；再由△AFD∽△AOE得出的比例線段以及OE的長，即可求出m的值，由此確定函數(shù)的解析式．
（3）此題中，首先要確定點M的位置：已知“△AMC的周長最小”，那么可作點C關(guān)于直線BO的對稱點C′，連接AC′與直線BO的交點即為符合條件的點M；
確定點M后，由于所求平行四邊形的四頂點順序并不確定，所以分：AM為邊和AM為對角線兩種情況討論；在解答時，可根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等的特點，過P、Q作坐標軸的垂線，通過構(gòu)建全等三角形來確定點P的坐標．

解答：解：（1）∵y=

2

m

x2-2x=

2

m

(x2-mx+

1

4

m2)-

2

m

•

1

4

m2=

2

m

(x-

1

2

m)2-

1

2

m，
∴拋物線的頂點B的坐標為(

1

2

m，  -

1

2

m)．

（2）令

2

m

x2-2x=0，解得x₁=0，x₂=m．
∵拋物線y=

2

m

x2-2x與x軸負半軸交于點A，
∴A （m，0），且m＜0．
過點D作DF⊥x軸于F，如右圖；
由D為BO中點，DF∥BC，可得CF=FO=

1

2

CO．
∴DF=

1

2

BC．
由拋物線的對稱性得 AC=OC．
∴AF：AO=3：4．
∵DF∥EO，
∴△AFD∽△AOE．
∴

FD

OE

=

AF

AO

．
由E （0，2），B(

1

2

m，  -

1

2

m)，得OE=2，DF=-

1

4

m．
∴

- 1 4 m

2

=

3

4

．
∴m=-6．
∴拋物線的解析式為y=-

1

3

x2-2x．

（3）依題意，得A（-6，0）、B （-3，3）、C （-3，0）．可得直線OB的解析式為y=-x，直線BC為x=-3．
作點C關(guān)于直線BO的對稱點C′（0，3），連接AC′交BO于M，則M即為所求．
由A（-6，0），C′（0，3），可得直線AC′的解析式為y=

1

2

x+3．
由

y= 1 2 x+3 y=-x

解得

x=-2 y=2.

∴點M的坐標為（-2，2）．
由點P在拋物線y=-

1

3

x2-2x上，設P （t，-

1

3

t2-2t）．
（�。┊擜M為所求平行四邊形的一邊時．
①如右圖，過M作MG⊥x軸于G，過P₁作P₁H⊥BC于H，
則x_G=x_M=-2，x_H=x_B=-3．
由四邊形AM P₁Q₁為平行四邊形，可證△AMG≌△P₁Q₁H．
可得P₁H=AG=4．
∴t-（-3）=4．
∴t=1．
∴P1(1，  -

7

3

)．
②如右圖，同①方法可得 P₂H=AG=4．
∴-3-t=4．
∴t=-7．
∴P2(-7，  -

7

3

)．
（ⅱ）當AM為所求平行四邊形的對角線時，如右圖；
過M作MH⊥BC于H，過P₃作P₃G⊥x軸于G，則x_H=x_B=-3，x_G=xP3=t．
由四邊形AP₃MQ₃為平行四邊形，可證△A P₃G≌△MQ₃H．
可得AG=MH=1．
∴t-（-6）=1．
∴t=-5．
∴P3(-5，  

5

3

)．
綜上，點P的坐標為P1(1，  -

7

3

)、P2(-7，  -

7

3

)、P3(-5，  

5

3

)．

點評：此題主要考查的是函數(shù)解析式的確定、全等三角形與相似三角形的應用以及平行四邊形的特點等重要知識點；難點是最后一題，首先要根據(jù)軸對稱圖形的特點以及兩點間線段最短確定點M的位置，再根據(jù)平行四邊形以及全等三角形的特點來設、求點P的坐標，一個小題中就涉及到眾多知識點，同時要注意的是平行四邊形四頂點順序不確定時，一定要分情況討論，以免漏解．