Question

如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò) A（0，4），B（4，0），C（-1，0）三點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)A作垂直于y軸的直線(xiàn)l．在拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PQ平行于y軸交直線(xiàn)l于點(diǎn)Q．連接AP．
（1）求拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c的解析式；
（2）是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、Q三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△AOC相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P位于拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)．若將△APQ沿AP對(duì)折，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M．求當(dāng)點(diǎn)M落在坐標(biāo)軸上時(shí)直線(xiàn)AP的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（0，4），B（4，0），C（-1，0）分別代入拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c，列出方程組，即可求出函數(shù)解析式．
（2）當(dāng)P在l下方時(shí)，令△AOC∽△AQP，△AOC∽△PQA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列比例式，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)P在l上方時(shí)，令△AOC∽△AQP，△AOC∽△PQA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列比例式，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）畫(huà)出函數(shù)圖形，利用三角形相似，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．
解答：解：（1）將A（0，4），B（4，0），C（-1，0）分別代入拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c得，
，
解得，函數(shù)解析式為y=-x²+3x+4．
（2）P在l下方時(shí)，令①△AOC∽△AQP，
=，
即，
由于y=-x²+3x+4，
則有=，
解得x=0（舍去）或x=，此時(shí)，y=，P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．
②△AOC∽△PQA，
，
即，
由于y=-x²+3x+4，
則有，
解得，x=0（舍去）或x=7，P點(diǎn)坐標(biāo)為（7，-24）．
③P在l上方時(shí)，令△AOC∽△PQA，
，
即，
∵y=-x²+3x+4，
∴，
解得，x=0（舍去）或x=-1，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）．
④△AOC∽△AQP，
=，即
∴，
解得，x=0（舍去）或x=，P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．
（3）如圖（1），若對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M在y軸，則∠PAQ=45°，
設(shè)AP解析式為y=kx+b，則k=1或-1，
當(dāng)k=1時(shí)，把A（0，4）代入得y=x+4，
當(dāng)k=-1時(shí)，把A（0，4）代入得y=-x+4，
此時(shí)P在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，符合題意，
∴y=x+4，或y=-x+4，
設(shè)點(diǎn)Q（x，4），P（x，-x²+3x+4），則PQ=x²-3x=PM，
∵△AEM∽△MFP．
則有=，
∵M(jìn)E=OA=4，AM=AQ=x，PM=PQ=x²-3x，
∴=，
解得：PF=4x-12，
∴OM=（4x-12）-x=3x-12，
Rt△AOM中，由勾股定理得OM²+OA²=AM²，
∴（3x-12）²+4²=x²，解得x₁=4，x₂=5，均在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）或（5，-6）．
設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，
把（0，4）（4，0）分別代入解析式得，
解得，
函數(shù)解析式為y=-x+4．
把（0，4）（5，-6）分別代入解析式得，
解得，
函數(shù)解析式為y=-2x+4．
綜上所述，函數(shù)解析式為y=x+4，y=-x+4，y=-2x+4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法、二次函數(shù)解析式、相似三角形的性質(zhì)、翻折變換、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等，題目錯(cuò)綜復(fù)雜，涉及知識(shí)面廣，旨在考查邏輯思維能力．