Question

【題目】如圖所示，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸直線x＝2與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從拋物線的頂點(diǎn)E向下運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為　 　，拋物線的解析式是　 　；

（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)最��？

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PAC是以AC為腰的等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）（3，0），y＝﹣x2+4x﹣3；（2）t＝2；（3）t＝4或4+或4﹣.

【解析】

（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱(chēng)軸x=1代入解析式即可求出b，c的值，即可求出解析式,故求出B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由圖可知，AC是定長(zhǎng)，故只要求出PA+PC最小時(shí)，則△PAC的周長(zhǎng)最小，又點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)B，故連接BC與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，此時(shí)PA+PC最小，則求出直線BC的解析式與x=2的交點(diǎn)即為P點(diǎn)坐標(biāo)繼而求出t的值；（3）根據(jù)AC為腰可分兩種情況，①CP＝AC，可作圖，根據(jù)AC＝CP＝，CF＝2，利用勾股定理可求出PF的長(zhǎng)，繼而求出時(shí)間t，注意還要要分兩種情況，②AC＝AP，可作圖，利用Rt△OAC≌Rt△DAP，得出DP=CO=3，故而求出EP的長(zhǎng)，即可求出時(shí)間t.

解：（1）根據(jù)題意得：

解得：b＝4，c＝﹣3

∴拋物線解析式y＝﹣x2+4x﹣3

當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣x2+4x﹣3

∴x1＝1，x2＝3

∴點(diǎn)B（3，0）

故答案為：（3，0），y＝﹣x2+4x﹣3

（2）如圖：

∵△PAC的周長(zhǎng)＝AC+PA+PC

且AC是定長(zhǎng)，

∴PA+PC最小時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)最小

∵點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸直線x＝2對(duì)稱(chēng)

∴連接BC交對(duì)稱(chēng)軸直線x＝2于點(diǎn)P

∵y＝﹣x2+4x﹣3與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)

∴點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)E（2，1）

∴OC＝3，點(diǎn)D（2，0）即DE＝1

∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，﹣3）

∴直線BC解析式：y＝x﹣3

當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣1

∴點(diǎn)P（2，﹣1）

∴t＝＝2

（3）若CP＝AC時(shí)，如圖：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥ED于點(diǎn)F

∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C（0，﹣3）

∴OA＝1，OC＝3

∵AC＝＝

∵CF⊥DE，DE⊥OD，OC⊥OD

∴四邊形ODFC是矩形

∴CF＝OD＝2，DF＝OC＝3

∵AC＝CP＝，CF＝2

∴PF＝＝

∴DP＝3±

∴EP＝4±

∴t1＝＝4+，t2＝＝4﹣

若點(diǎn)AC＝AP時(shí)，如圖

∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)D（2，0）

∴OA＝AD＝1，且AC＝AP

∴Rt△OAC≌Rt△DAP（HL）

∴OC＝DP＝3

∴EP＝4

∴t＝＝4

綜上所述：t＝4或4+或4﹣.