Question

如圖，四邊形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E，AB=15cm，BC=9cm，
（1）點E是AB的中點嗎？為什么？
（2）若P是射線DE上的動點．設(shè)DP=x cm（x＞0），四邊形BCDP的面積為y cm²．
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②當x為何值時，△PBC的周長最小，并求出此時四邊形BCDP的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AF=CF，根據(jù)DE∥BC，推出AE=BE，即可得出答案；
（2）①根據(jù)勾股定理求出AC，求出CF的長，得出四邊形BCDP是梯形，根據(jù)梯形的面積公式得出即可；②求出CP+BP最小時，△BCP的周長最小，根據(jù)對稱得出當P到E時，△PBC的周長最小，證△DAE∽△ACB，得出比例式，求出DE的值即可．
解答：解：（1）點E是AB的中點，
理由是：∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF，
∵DF⊥AC，∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
∵AF=CF，
∴AE=BE，
即點E是AB的中點．

（2）①在Rt△ACB中，AB=15，BC=9，由勾股定理得：AC==12（cm），
即AF=CF=6cm，
∵DF∥BC，
∴梯形BCDP的面積y=（x+9）×6=3x+27，
即y=3x+27（x＞0）．

②△PBC的周長是BC+CP+PB=9cm+CP+BP，
要使△PBC的周長最小，只要CP+BP最小即可，
∵CF=AF，DE⊥AC，
∴C、A關(guān)于DF對稱，
即當點P運動到點E時，CP+BP最小，此時△PBC的周長最小，
求得AE=BE=AB=cm，
∵DE∥BC，
∴∠DEA=∠CBA，
∵∠DAE=∠ACB=90°，
∴△DAE∽△ACB，
∴=，
∴=，
解得：（cm），
∴當時，△PBC的周長最小，
∵CF是梯形BCDE的兩底之間的高，
∴此時四邊形BCDP（即梯形BCDE）的面積是：×（+9）×6=（cm²），
答：當x=時，△PBC的周長最小，此時四邊形BCDP的面積是cm²．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，通過做此題培養(yǎng)了學生的推理能力和計算能力，題型比較好，綜合性也比較強．