Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，點M在邊BC上，且∠MDB =∠ADB，．

（1）求證：BM=CM；

（2）作BE⊥DM，垂足為點E，并交CD于點F．

求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明線段相等，首選全等三角形，不行再選擇證明等腰三角形，繼而使用等量代換證明。

（2）通過證明相似形，找出相關比例，繼而證明幾何題中的代數關系。

【解析】

試題分析： 證明：（1）∵ AB⊥BC，∴ ∠ABC = 90º．

∵ AD // BC，∴ ∠CBD =∠ADB，∠BAD +∠ABC = 180º．

即得 ∠BAD = 90º．

∵ ，∴ ．

又∵ ∠CBD =∠ADB，

∴ △BCD∽△DBA．

∴ ∠BDC =∠BAD = 90º．

∴ ∠DBC +∠C = 90º．

∵ ∠MDB=∠ADB，∠MBD =∠ADB，

∴ ∠MBD =∠MDB．∴ BM = MD．

又∵ ∠BDM +∠CDM =∠BDC = 90º，

∴ ∠C =∠CDM．

∴ CM = MD．∴ BM = CM．

（2）∵ BE⊥DM，

∴ ∠DEF =∠BDC = 90º．

∴ ∠FDE +∠DFE = 90º，∠DBF +∠DFE = 90º．

∴ ∠FDE =∠DBF．

又∵ ∠FDE =∠C，

∴ ∠DBF =∠C．

于是，由 ∠FDB =∠BDC = 90º，∠DBF =∠C，

得 △FDB∽△BDC．

∴ ．即 ．

∵ BM = CM，∠BDC = 90º，∴ BC = 2DM．

又∵ ，

∴ ．

考點：相似三角形的性質

點評：該題主要考查學生對相似三角形性質的掌握，同時學生要學會用逆向思維思考題目的解決方法，由邊相等想到角相等、全等三角形，或者線段的相加減。