Question

圖1，在△ABC中，BD是∠ABC的平分線，請你利用該圖形構造一個以BD所在直線為對稱軸且與△ABD全等的三角形
（1）如圖2，在△ABC中，∠A=100°，∠C=50°，BD是∠ABC的角平分線，請你判斷并寫出AB、AD、BC之間的數量關系

BC=AB+AD

（2）如圖3，在△ABC中，∠C=40°，而（1）中的其他條件不變，請你判斷AD、BD、BC之間的數量關系并證明．

Answer 1

分析：（1）先計算出∠ABC，在BC上截取BE=AB，則△ABD≌△EBD，從而得出AB、AD、BC之間的數量關系；

解答：解：作出全等圖形得（1分）
（1）BC=AB+AD…（2分）

（2）BC=BD+AD
證明：方法一：
在BC上截取BE=AB，連接DE，在BC上截取BF=BD，連接DF…（3分）
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD
在△ABD和△EBD中
AB=BE
∠ABD=∠CBD
BD=BD
∴△ABD≌△EBD，
∴AD=DE…（4分）
∠DEB=∠A=100°
∴∠DEC=80°，
∵∠A=100°，∠C=40°
∴∠ABC=40°
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=20°
∵BD=BF，
∴∠BFD=80°
∠DEC=∠BFD=80°，
∴DE=DF…（5分）
∵∠DFB=80°，∠C=40°
∴∠CDF=40°，
∴DF=CF
∴AD=CF
∴BC=BF+CF=BD+AD…（7分）
方法二：延長BD到F，使DF=AD，在BC上
截取BE=AB，通過證△ABE≌△DBE和
△CDF≌△CDE得到AD=DF；再證明BC=BF．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質，是一道綜合性較強的題目，難度較大．