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含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°，將其繞直角頂點C順時針旋轉α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C邊與AB所在直線交于點D，過點 D作DE∥A'B'交CB'邊于點E，連接BE。
（1）如圖1，當A'B'邊經過點B時，α=_____°；
（2）如圖2，在三角板旋轉的過程中，若∠CBD的度數是∠CBE度數的m倍，猜想m的值并證明你的結論；
（3）如圖2，設BC=1，AD=x，△BDE的面積為S，以點E為圓心，EB為半徑作⊙E，當S=S△ABC時，求AD的長，并判斷此時直線A′C與⊙E的位置關系。
解：（1）當A′B′邊經過點B時，α=60°；
（2）猜想：如圖2，點D在AB邊上時，m=2；
證明：當時，點D在AB邊上（如圖2），
∵ DE∥A′B′，
∴，
由旋轉性質可知，CA=CA′，CB=CB′，∠ACD=∠BCE，
∴，
∴△CAD∽△CBE，
∴∠A =∠CBE=30°，
∵ 點D在AB邊上，∠CBD=60°，
∴，
即m=2；
（3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2，，
由△CAD∽△CBE 得，
∵AD=x，
∴，
當點D在AB邊上時，AD=x，，∠DBE=90°，
此時，，
當S=時，，
整理，得，
解得，即AD=1，
此時D為AB中點，故∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE，
∴EC=EB，
∵，
點E在CB′邊上，
∴圓心E到A′C的距離EC等于⊙E的半徑EB，
∴直線A′C與⊙E相切。
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

14、把兩個一樣大的含30°角的直角三角板按如圖的方式拼在一起，其中AC平分∠BAF，AD平分∠EAF，請寫出所有的等腰三角形：
△ABE，△ACD，△ABC，△ADE
．

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科目：初中數學 來源： 題型：

已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，O為BC邊的中點，將-含30°角的直角三角板PQR放置到△ABC上，使得P點與O點重合，將三角板繞著O點旋轉，在旋轉過程中，PQ、PR分別與直線AB、AC交于點E、F：
（1）當PQ、PR分別與線段AB、AC交于點E、F時（如圖a），求證：∠BEO=∠COF；
（2）當PQ、PR分別與直線AB、AC交于點E、F時（如圖b、圖c），∠BEO與∠COF的大小關系是否改變？請直接寫出結論；
（3）在圖c中，連接EF，若AB=4，BE=
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科目：初中數學 來源： 題型：

（2013•威海）操作發(fā)現
將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發(fā)現等腰直角三角板ABC的斜邊與含30°角的直角三角板DEF的長直角邊DE重合．
問題解決
將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點B順時針旋轉30°，點C落在BF上，AC與BD交于點O，連接CD，如圖②．
（1）求證：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=8，求AD的長．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2013•大慶模擬）小明在玩一副三角板時發(fā)現：含45°角的直角三角板的斜邊可與含30°角的直角三角板的較長直角邊完全重合（如圖①）．即△C′DA′的頂點A′、C′分別與△BAC的頂點A、C重合．現在，他讓△C′DA′固定不動，將△BAC通過變換使斜邊BC經過△C′DA′的直角頂點D．
（1）如圖②，將△BAC繞點C按順時針方向旋轉角度α（0°＜α＜180°），使BC邊經過點D，則α=
15
15
°．
（2）如圖③，將△BAC繞點A按逆時針方向旋轉，使BC邊經過點D．試說明：BC∥A′C′．
（3）如圖④，若AB=
2
，將△BAC沿射線A′C′方向平移m個單位長度，使BC邊經過點D，求m的值．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖，有一位同學用一個含30°角的直角三角板估測學校的旗桿AB的高度，他將30°角的直角邊水平放在1.3米高的支架CD上，三角板的斜邊與旗桿的頂點在同一直線上，他又量得D、B的距離為15米，則旗桿AB的高度為（　�。�
3
≈1.73，結果精確到0.1m）

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