Question

拋物線y=ax²+2x+3（a＜0）交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，頂點為D，而且經(jīng)過點（2，3）．
（1）寫出拋物線的解析式及C、D兩點的坐標；
（2）連接BC，以BC為邊向右作正方形BCEF，求E、F兩點的坐標；若將此拋物線沿其對稱軸向上平移，試判斷平移后的拋物線是否會同時經(jīng)過正方形BCEF的兩個頂點E、F？若能，寫出平移后的拋物線解析式；若不能，請說明理由；
（3）若P是拋物線y=ax²+2x+3上任意一點，過點P作直線垂直于拋物線y=ax²+2x+3的對稱軸，垂足為Q，那么是否存在著這樣的點P，使以P、Q、D為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，請求出P點的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）y=-x²+2x+3，
C（0，3），D（1，4）．

（2）E（3，6）；F（6，3）
設(shè)拋物線沿對稱軸向上平移m個單位，
則平移后拋物線解析式為y=-（x-1）²+（4+m），
當點E在此拋物線上，則把E點（3，6）代入，
求的拋物線解析式為：y=-（x-1）²+10，
把x=6代入，y=-15≠3，
所以平移后的拋物線不可能同時經(jīng)過正方形BCEF的兩個頂點E、F．

（3）因為C（0，3），B（3，0），
所以△BOC為等腰直角三角形，
假設(shè)存在這樣的△DQP與△BOC相似，則△DQP也為等腰直角三角形，DQ=QP．
設(shè)P（x，-x²+2x+3），
得到：4-（-x²+2x+3）=x-1或者4-（-x²+2x+3）=1-x，
解得：x=1（舍去）；
x=2；x=0；x=1（舍去），
所以存在這樣的P點2個：（2，3）；（0，3）．
分析：（1）將點（2，3）的坐標代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的解析式．根據(jù)拋物線的解析式即可求出C、D兩的坐標．
（2）可先求出E、F點的坐標．然后設(shè)出平移后的拋物線的解析式．假設(shè)E、F都在平移后的拋物線上，先將E點的坐標代入平移后的拋物線的解析式中即可確定出平移后拋物線的解析式．然后將F點的坐標代入拋物線其中即可判斷出是否存在經(jīng)過平移后同時過E、F點的拋物線．
（3）根據(jù)B，C的坐標可知，△BOC是等腰直角三角形，因此如果△PQD與△BOC相似，那么△PQD的兩直角邊必須相等，可設(shè)出P點的坐標（先設(shè)P點的橫坐標，然后根據(jù)拋物線的解析式表示出縱坐標），然后表示出PQ，QD的長，根據(jù)PQ=QD即可得出一個關(guān)于P點橫坐標的方程，如果方程無解，則說明不存在這樣的點P，如果有解，那么可根據(jù)求出的P的橫坐標和拋物線的解析式得出P點的坐標．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的平移、三角形相似等知識點，綜合性強，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．