Question

如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，點D為BA延長線上的一點，且∠D=∠ACB，⊙O為△ACD的外接圓.

（1）求BC的長；

（2）求⊙O的半徑.

Answer 1

解：（1）過點A作AE⊥BC，垂足為E.

∴∠AEB=∠AEC=90°.

在Rt△ABE中，∵sinB=，

∴AB=AB·sinB=3·sin45°= 3·=3.

∵∠B=45°，

∴∠BAE=45°.

∴BE=AE=3.

在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=，

∴EC=.

∴BC=BE+EC=3+.

（2）由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=，

∴AC=2.

解法一：連接AO并延長交⊙O于M，連接CM.

∵AM為直徑，

∴∠ACM=90°.

在Rt△ACM中，∵∠M=∠D=∠ACB=60°，sinM=，

∴AM===4.

∴⊙O的半徑為2.

解法二：連接OA，OC，過點O作OF⊥AC，垂足為F，

則AF=AC=.

∵∠D=∠ACB=60°，

∴∠AOC=120°.

∴∠AOF=∠AOC=60°.

在Rt△OAF中，sin∠AOF=，

∴AO==2，即⊙O的半徑為2.