Question

【題目】已知：如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）如圖1，連接AF，CF，直接寫出AF與CF的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2，點(diǎn)E為AD邊的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到線段EC上時(shí)，連接AF，BE相交于點(diǎn)O.

①請(qǐng)你根據(jù)題意在圖2中補(bǔ)全圖形；

②猜想AF與BE的位置關(guān)系，并寫出證明此猜想的思路；

③如果正方形的邊長為2，直接寫出AO的長.

Answer 1

【答案】（1）AF=CF（2）① 圖形見解析②③.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的對(duì)稱性即可得結(jié)論；（2）①根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形即可；②AF⊥BE，由四邊形ABCD是正方形，可得AD＝CD，∠ADB＝∠CDB.進(jìn)而可得ΔADF≌ΔCDF.從而得到1＝∠2；由E為正方形ABCD的AD邊的中點(diǎn)，可證ΔABE≌ΔDCE.從而得到∠3＝∠4；由∠2+∠4=90°可知∠1+∠3=90°，進(jìn)而可得∠AOE=90°，即AF⊥BE.③根據(jù)勾股定理可得BE=，因AF⊥BE，根據(jù),即可求得AO的長.

試題解析：

（1）解：AF=CF.

（2）解：① 補(bǔ)全圖形：

②.

證明思路如下：

(i)由四邊形ABCD是正方形，

可得AD＝CD，∠ADB＝∠CDB.

進(jìn)而可得≌.從而得到1＝∠2.

(ii)由E為正方形ABCD的AD邊的中點(diǎn)，可證≌.

從而得到∠3＝∠4.

(iii)由∠2+∠4=90°可知∠1+∠3=90°，進(jìn)而可得∠AOE=90°.

即.

③.