Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，E是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F、G分別為AE、BC的中點(diǎn)，FG與ED相交于點(diǎn)H．

（1）求證：HE＝HG；

（2）如圖2，當(dāng)BE＝AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥DE于點(diǎn)P，連接BP，求的值；

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）連接AG，并延長(zhǎng)AG交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，連接EM，證明先證明△ABG≌△MCG（ASA），得到GA＝GM，加上已知F為AE的中點(diǎn)，進(jìn)而證明FG是△AEM的中位線(xiàn)，根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)可得∠HGE＝∠MEC，接下來(lái)用SAS證明△DEC≌△MEC，可得∠DEC＝∠MEC，所以∠HEG＝∠HGE，HE＝HG即得以證明；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥BP交DE于Q，在△ABP和△EBQ中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及對(duì)頂角相等的性質(zhì)，易得∠BEQ＝∠BAP，由∠QBP＝∠ABE＝90°可得∠QBP＝∠ABE＝90°，又因?yàn)?/span>BE＝AB，所以滿(mǎn)足ASA，△BEQ≌△BAP可證；再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BQ＝BP，PA＝QE，可證△PBQ是等腰直角三角形，,而PQ＝PB，等量代換代入所求比例式，即可求解．

（1）證明：連接AG，并延長(zhǎng)AG交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，連接EM，

，

∵G為BC的中點(diǎn)，

∴BG＝CG，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABG＝∠DCB＝90°，

∴∠ABG＝∠MCG＝90°，

在△ABG和△MCG中，

，

∴△ABG≌△MCG（ASA），

∴GA＝GM，

∵F為AE的中點(diǎn)，

∴FA＝FE，

∴FG是△AEM的中位線(xiàn)，

∴FG∥EM，

∴∠HGE＝∠MEC，

在△DCE和△MCE中，

，

∴△DEC≌△MEC（SAS），

∴∠DEC＝∠MEC，

∵∠HGE＝∠MEC，

∴∠HEG＝∠HGE，

∴HE＝HG；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥BP交DE于Q，則∠QBP＝90°，

∵AP⊥DE，四邊形ABCD是矩形，

∴∠APE＝∠ABE＝90°，

∵∠APO+∠AOP+∠BAP＝180°，∠EOB+∠ABE+∠BEP＝180°，∠AOP＝∠EOB，

∴∠BEQ＝∠BAP，

∵∠QBP＝∠ABE＝90°，

∴∠EBQ＝∠ABP＝90°﹣∠ABQ，

在△ABP和△EBQ中，

，

∴△BEQ≌△BAP（ASA），

∴BQ＝BP，PA＝QE，

∴△PBQ是等腰直角三角形，

∴PQ＝PB，

∴．