Question

【題目】已知，AB是⊙O的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B），把△AOP沿OP對折，點A的對應點C恰好落在⊙O上．

（1）當P、C都在AB上方時（如圖1），判斷PO與BC的位置關系（只回答結果）；

（2）當P在AB上方而C在AB下方時（如圖2），（1）中結論還成立嗎？證明你的結論；

（3）當P、C都在AB上方時（如圖3），過C點作CD⊥直線AP于D，且CD是⊙O的切線，證明：AB=4PD．

Answer 1

【答案】解：（1）PO與BC的位置關系是PO∥BC。

（2）（1）中的結論PO∥BC成立。理由為：

由折疊可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO。

又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠CPO。

又∵∠A與∠PCB都為所對的圓周角，∴∠A=∠PCB。∴∠CPO=∠PCB。

∴PO∥BC。

（3）證明：∵CD為圓O的切線，∴OC⊥CD。

又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠APO=∠COP。

由折疊可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP。

又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠APO=∠AOP。∴△APO為等邊三角形。

∴∠AOP=60°。

又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°。

又∵OC=OB，∴△BC為等邊三角形。∴∠COB=60°。

∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°。

又∵OP=OC，∴△POC也為等邊三角形。∴∠PCO=60°，PC=OP=OC。

又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°。

在Rt△PCD中，PD=PC，

又∵PC=OP=AB，∴PD=AB，即AB=4PD。

【解析】折疊的性質，圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，平行的判定和性質，切線的性質，全等三角形的性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質。

（1）由折疊可得，由∠AOP=∠POC ；因為∠AOC和∠ABC是弧所對的圓心角和圓周角，根據同弧所對圓周角是圓心角一半的性質，得∠AOP=∠ABC；根據同位角相等兩直線平行的判定，得PO與BC的位置關系是平行。

（2）（1）中的結論成立，理由為：由折疊可知三角形APO與三角形CPO全等，根據全等三角形的對應角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等邊對等角得到∠A=∠APO，等量代換可得出∠A=∠CPO，又根據同弧所對的圓周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代換可得出∠COP=∠ACB，利用內錯角相等兩直線平行，可得出PO與BC平行。

（3）由CD為圓O的切線，利用切線的性質得到OC⊥CD，又AD⊥CD，利用平面內垂直于同一條直線的兩直線平行得到OC∥AD，根據兩直線平行內錯角相等得到∠APO=∠COP，再利用折疊的性質得到∠AOP=∠COP，等量代換可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等邊對等角可得出一對角相等，等量代換可得出△AOP三內角相等，確定出△AOP為等邊三角形，根據等邊三角形的內角為60°得到

∠AOP=60°，由OP∥BC，利用兩直線平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到△OBC為等邊三角形，可得出∠COB為60°，利用平角的定義得到∠POC也為60°，再加上OP=OC，可得出△POC為等邊三角形，得到內角∠OCP=60°，可求出∠PCD=30°，在Rt△PCD中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得出PD為PC的一半，而PC=圓的半徑OP=直徑AB的一半，可得出PD為AB的四分之一，即AB=4PD，得證。