Question

【題目】如圖，二次函數y=x2+2x+c的圖象與x軸交于點A和點B（1，0），以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿CB勻速運動，當點Q到達終點B時，點P停止運動，設運動時間為t秒．連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E．

（1）求二次函數的解析式及點A的坐標；

（2）當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，并求出這個最大值；

（3）在P，Q運動過程中，求當△DPE與以D，C，Q為頂點的三角形相似時t的值；

（4）是否存在t，使△DCQ沿DQ翻折得到△DC′Q，點C′恰好落在拋物線的對稱軸上？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3，點A的坐標為（﹣3，0）；

（2）點P位于AO的中點時，線段OE的長有最大值；

（3）t=1或3或，

（4）存在t=．

【解析】試題分析：(1)先將點B的坐標代入解析式求得c的值確定二次函數解析式,令y=0即可求得A點坐標.

(2)由DP⊥PE證得△DAP∽△POE,用比例式表示出y與t的關系,根據函數圖象的性質可求得OE的最大值.

(3)需要分類討論:根據t的不同取值得出相似三角形,再由相似的性質可得t的取值.

(4)先證明△DCQ≌DC′Q,從而得到∠CDQ=∠C′DQ,DC′=DC=4,再得出∠CDQ=30°,即可求得滿足條件的t值.

解：（1）把B（1，0）代入y=x2+2x+c得c=﹣3，

∴y=x2+2x﹣3，

由x2+2x﹣3=0得x1=﹣3，x2=1，

∴點A的坐標為（﹣3，0）．

（2）如圖（2），由正方形ABCD得AD=AB=4，

由DP⊥PE證得△DAP∽△POE，

∴，設OE=y，則，

∴y==﹣（t﹣）2+，

∵a=﹣1＜0，

∴當t=時（屬于0＜t＜）時，y最大=，此時2t=，即點P位于AO的中點時，

∴線段OE的長有最大值．

（3）①如圖①，當0＜t＜時，△DPE∽△DCQ，

∴．又△ADP∽△OPE，

∴，

∴．即，解得t=1，

經檢驗：t=1是原方程的解．

②如圖②，當時，同理證得△ADP∽△OPE，

∴，

即，解得t=3．經檢驗：t=3是原方程的解．

③如圖③，當時，△DPE∽△QCD，

∴，

同理得，

∴．即，解得t1=t2=（經檢驗：舍去t2=），

綜上所述，t=1或3或，

（4）存在t=．

理由如下：如圖

由△DCQ沿DQ翻折得△DC′Q，則△DCQ≌△DC′Q，

∴∠CDQ=∠C′DQ，DC′=DC=4，

設拋物線的對稱軸交DC于G，則DG=2．在Rt△DC′G中，

∵C′D=2DG，

∴∠C′DG=60°，

∴∠CDQ=×60°=30°，

∴CQ=，即t=．