Question

已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（-3，6）、B（m，0）、C（3，0），并且m＜3，D為拋物線的頂點．
（1）求b，c，m的值；
（2）設點P是線段OC上一點，點O是坐標原點，且滿足∠PDC=∠BAC，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A（-3，6）、C（3，0）代入二次函數(shù)得，2c-6b=3①，2c+6b=-9②，解由①②組成的方程組得，b=-1，c=-；得到拋物線的解析式為：y=x²-x-，令y=0，則x²-x-=0，解得，x₁=3，x₂=-1，而m＜3，所以m=-1，
（2）通過D點坐標為（1，-2），C（3，0），得到∠PCD=45°；由A（-3，6）、C（3，0），得∠ACB=45°；加上∠PDC=∠BAC，得到△ABC∽△DPC，則BC•DC=AC•PC，而BC=4，AC=6，DC=2，得到PC=，則OP=3-=，即可得到P點坐標．
解答：解：（1）把A（-3，6）、C（3，0）代入解析式得，2c-6b=3①，2c+6b=-9②，
解由①②組成的方程組得，b=-1，c=-；
拋物線的解析式為：y=x²-x-，
令y=0，則x²-x-=0，解得，x₁=3，x₂=-1，而m＜3，所以m=-1，
所以b=-1，c=-，m=-1；

（2）由B（-1，0），C（3，0），得對稱軸為直線x=1，所以D點坐標為（1，-2），
∴sin∠PCD=
∴∠PCD=45°，
由A（-3，6）、C（3，0），得∠ACB=45°；
∵∠PDC=∠BAC，
∴△ABC∽△DPC，
∴BC•DC=AC•PC，
而BC=4，AC=6，DC=2，
∴PC=，則OP=3-=，
所以P點坐標為（，0）．
點評：本題考查了用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式．設二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，通過解方程組確定a，b，c的值．也考查了點在圖象上則點的坐標滿足圖象的解析式、拋物線與x軸的交點坐標以及頂點坐標、三角形相似的判定和性質(zhì)．